人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题10二次根式40道压轴题型专训(8大题型)(原卷版+解析)

专题 二次根式40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 复合二次根式的化简 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 分母有理化 题型六 二次根式的应用 题型七 二次根式的规律计算 题型八 二次根式的新定义计算 【经典例题一 利用二次根式的性质化简】 1．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值． (1)若，当取最小值时，求a的值． (2)若，求的最小值． 2．已知． (1)计算：当时，_____，_____； 当时，_____，_____； 当时，_____，_____； (2)猜想：无论为任何非负数时，_____始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 3．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：_____； (2)若等式成立，则a的取值范围是_____； (3)若，求a的值． 4．已知，且为偶数，求的值． 5．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)解方程：． 【经典例题二 复合二次根式的化简】 6．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 7．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 8．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简： ①_____； ②_____． (2)若，且，，为正整数，求的值． 9．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 10．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：_____，_____； (2)若，且、均为正整数，试化简：； (3)化简：． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 11．化简： (1)； (2)； (3)． 12．计算 (1)； (2)（）． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．计算： (1) (2) 15．计算：． 【经典例题四 二次根式的化简求值】 16．先化简，再求值：，其中. 17．已知，求的值 18．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简和； （2）化简； （3）若，求4a2﹣8a+1的值． 19．已知，，求的值． 20．已知，． （1）求的值． （2）求值． 【经典例题五 分母有理化】 21．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算的值； ... ...