人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题04二次根式的加减【知识串讲+七大考点】(原卷版+解析)

专题 二次根式的加减 （一）二次根式的加减 （1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 （2）二次根式比较大小： ①若a＞b＞0，则有； ②若，则有a＞b． ③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 （二）二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 考点1：同类二次根式 典例1：下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 考点2：同类二次根式———求字母 典例2：若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（ ） A．3 B． C． D． 【变式1】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【变式2】最简二次根式与能合并，则 ． 【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 考点3：二次根式加减运算 典例3：计算：． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【变式2】计算 (1)； (2)． 【变式3】计算：． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【变式5】计算： 考点4：已知字母的值化简求值 典例4：若，，求的值． 【变式1】已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【变式2】已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】已知，，求代数式的值； 考点5：已知条件式化简求值 典例5：已知，求的值． 【变式1】已知，求代数式的值． 【变式2】已知，求的值． 【变式3】（1）若，求； （2）若，求的值． 【变式4】已知，．求的值． 【变式5】完成下列各小题： （1）已如，求的值； （2）已知，求式子的值； 考点6：二次根式的新定义运算 典例6：定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【变式1】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【变式2】对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)_____，_____； (2)已知，求的值． 【变式3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为_____，点的“横负纵变点”为_____； (2)化简：； (3)已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_____． 考点7：二次根式的应用 典例7：现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为_____，B的边长为_____，C的边长为_____； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能 ... ...