第1章《三角形的证明》章节知识点复习题 【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题. 1.如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2.如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 3.已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 4.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】 1.在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数． (2)当时，补全图2，并求证：． 2.如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 3.如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 4.如图1，在中，D为边上一点，，． (1)求的度数； (2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：； (3)在（2）的条件下，求证：． 【题型3 等边三角形的性质与判定】 1.已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 2.如图1，是等边三角形，点D，E，F分别为边的中点． (1)求证：为等边三角形； (2)连接交于点G，如图2，求证：； (3)如图3，已知的面积为8，求的面积． 3.如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当为的中点时，则_____（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 4.如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 【题型4 解决“一线”的最短路径问题】 1.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 2.如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3.如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 4.如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【题型5 解决“两线”的最短路径问题】 1.如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（ ） A． B． C． D． 2.如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 3.如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ） A． B． C． ... ...
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