专题12 二次函数综合题分类训练（3种类型40道）（PDF，含解析）2025年中考数学复习高频考题专项训练（北京专用）

专题 12 二次函数综合题分类训练（3 种类型 40 道） 目录 【题型 1 求参数取值范围】......................................................................................................................................1 【题型 2 比较函数值的大小】................................................................................................................................25 【题型 3 求对称轴】................................................................................................................................................36 【题型 1 求参数取值范围】 1．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 + 1( ≠ 0)． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知 ( 1, 1)和 ( 2, 2)是抛物线上的两点．若对于 1 = + 2， 3 < 2 < 1，都有 1 < 2，求 的取值 范围． 【答案】(1)直线 = (2) ≥ 1或 3 < < 1 【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可求得其对称轴； （2）根据对称性，抛物线的增减性，建立不等式解答即可． 【详解】（1）解： ∵ = 2 2 2 + 1 = ( )2 +1 3， ∴ 抛物线的对称轴为直线 = ； （2）解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线 = ； ∴ 1 = + 2> ， ∴ ( 1, 1)一定在对称轴的右侧，且到对称轴的距离为 2， 当 >0时，抛物线开口向上， ( 2, 2)必在对称轴的左侧， 设 ( 2, 2)的对称点为 ′( 0, 0)， 则 2 = 2 0, 0 = 2， ∵ 3 < 2 < 1， ∴ 3 < 2 0 < 1， ∴2 + 1 < 0 < 2 + 3， ， ∵ 1 < 2， ∴ 1 < 0， ∴ + 2 ≤ 2 + 1， ∴ ≥ 1， 当 <0时，抛物线开口向下，点 ( 2, 2)在对称轴的左侧， 设 ( 2, 2)的对称点为 ( , )， 则 2 = 2 ， = 2， ∵ 3 < 2 < 1， ∴2 + 1 < < 2 + 3， ∵ 1 < 2， ∴ 1> ， ∴ + 2 ≥ 2 + 3， ∴ ≤ 1， 当 <0时，抛物线开口向下， ( 2, 2)在对称轴的右侧， ∵ 3 < 2 < 1， ∵ 1 < 2， ∴ 1> 2， ∴ + 2 ≥ 1， ∴ ≥ 3， ∴ 3 ≤ < 0， 综上所述，a 的取值范围是 ≥ 1或 3 ≤ ≤ 1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解 一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 = 2 2 2 ( ≠ 0)； (1)若点 (2,0)在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴． (2)若抛物线经过点 (2 1, 1), ( , 2), ( + 2, 3)，且满足( 1 3)( 3 2) > 0，求 的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 = 1； (2) > 3或 < 1． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． （1）把点 (2,0)代入 = 2 2 2 得 的值，代入函数根据函数顶点式即可求解； （2）根据题意得出 ( , 2)为抛物线的顶点，分 > 0和 < 0两种情况，利用数形相结合求解即可． 【详解】（1）解：把点 (2,0)代入 = 2 2 2 ，得0 = × 22 2 2 × 2， 解得 = 1或 = 0（舍去）， ∴抛物线 = 2 2 = ( 1)2 1， ∴对称轴为直线 = 1； （2）解： = 2 2 2 = ( )2 3， ∴对称轴为直线直线 = ， ∴当 > 0时，抛物线开口向上，函数有最小值 2， ∴ 3 2 > 0， ∵( 1 3)( 3 2) > 0， ∴ 1 3 > 0，即 1 > 3， ∴|2 1 | > | + 2 |，即| 1| > 2， 当 ≥ 1时， 1 > 2，即 > 3， ∴ > 3， 当0 < < 1时，1 > 2，即 < 1，不合题意，舍去， ∴ > 3， ∴当 < 0时，抛物线开口向下，函数有最大值 2， ∴ 3 2 < 0， ∵( 1 3)( 3 2) > 0， ∴ 1 3 < 0，即 1 < 3， ∴|2 1 | > | + 2 |，即| 1| > 2， ∴1 > 2， 解得 < 1． 综上可知， 的取值范围是 > 3或 < 1． 3．在平面直角坐标系 中， ( 1, 1)， ( 2 2 2, 2)是抛物线 = 2 + 1( > 0)上任意两点． (1)已知点(2 ... ...