专题13 几何证明压轴题（6种类型45道）（PDF，含解析）2025年中考数学复习高频考题专项训练（北京专用）

专题 13 几何证明压轴题（6 种类型 45 道） 目录 【题型 1 探究两条线段数量关系】 ..........................................................................................................................1 【题型 2 探究三条线段数量关系】 ........................................................................................................................22 【题型 3 最值问题（最小值）】 .............................................................................................................................49 【题型 4 最值问题（最大值）】 .............................................................................................................................60 【题型 5 几何证明与三角函数综合】 ...................................................................................................................73 【题型 6 几何证明与相似三角形综合】 ...............................................................................................................87 【题型 1 探究两条线段数量关系】 1．如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60°，E 是 AB 边上一点（不与 A，B 重合），点 F 与点 A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点 P，设 ADP = a ． (1)用含a 的代数式表示 DCP； (2)连接 AP，AF ．求证：VAPF 是等边三角形； (3)过点 B 作BG ^ DP 于点 G，过点 G 作CD的平行线，交CP于点 H．补全图形，猜想线段 CH 与 PH 之间 的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) DCP = a + 30° (2)见解析 (3) CH = PH ，证明见解析 【详解】（1）解：∵点 F 与点 A 关于直线DE 对称， ADP = a ， ∴ AD = DF ， PDF = ADP = a ， ∵在菱形 ABCD中， BAD = 60°， ∴ AD = CD ， AB∥CD， ∴ DF = CD， ADB =180° - BAD =120°， ∴ DCP = CFD， ∵ CDF = ADC - ADP - PDF =120° - 2a ， ∴ DCP CFD 1 = = 180° - CDF = 30° +a ， 2 即 DCP = a + 30°； （2）∵点 F 与点 A 关于直线DE 对称， ∴ AP = FP， DPF = DPA， ∴VAPF 是等腰三角形， ∵ CFD = 30° +a = DPF + PDF = DPF +a ， ∴ DPF = 30°， ∴ DPF = DPA = 30°， ∴ APF = 60°， ∴VAPF 是等边三角形； （3）如图所示，猜想CH = PH ，证明如下： 过点 B 作BG ^ DP 于点 G，过点 G 作CD的平行线，交CP于点 H．连接PB, BD， ∵VAPF 是等边三角形， ∴ AF = AP, PAF = 60°， ∴ PAF + BAF = 60° + BAF = BAD + BAF ， ∴ PAB = FAD ， ∵ DA = BA， ∴VDAF≌VBAP SAS ， ∴ DF = PB ， ∵ AB = AD, BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴ BD = AB = AD = DF = PB ， ∵ BG ^ DP 于点 G， ∴ PG = GD ， ∵ CD∥GH ， PH PG ∴ = =1， CH GD ∴ CH = PH 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱 形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 2．如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，P，D 为射线 AB 上两点（点 D 在点 P 的左侧），且 PD = BC ，连接 CP．以 P 为中心，将线段 PD 逆时针旋转n° 0 < n < 180 得线段 PE． (1)如图 1，当四边形 ACPE 是平行四边形时，画出图形，并直接写出 n 的值； (2)当n = 135°时，M 为线段 AE 的中点，连接 PM． ①在图 2 中依题意补全图形； ②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)画图见解析, n 的值为 45； (2)①画图见解 析；②用等式表示线段 CP 与 PM 之间的数量 关系 CP = 2PM ，证明见解析. 【分析】（1）根 ... ...