2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的判定与性质综合训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的判定与性质综合训练 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线． （2）若AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的长． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O直径，点E在BC延长线上，且∠E＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径． 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2，求OM的长． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点O为AB上一点，且3AO＝AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F． （1）求证：CB与⊙O相切； （2）若AB＝6，求DF的长度． 5．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长． 6．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC． （1）求证：EC是圆O的切线； （2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF， ①求证：AC＝CF； ②若AD＝1，求线段FG的长． 7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，点E是弧BC的中点． （1）过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线； （2）点F是弧AC的中点，求EF的长． 8．如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长． 9．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE． （1）求证：AE是半圆O的切线； （2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长． 10．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：CE＝CF； （3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点． （1）求证：直线CD与⊙O相切于点C； （2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）． 12．如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长． 13．如图，D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是⊙O的切线，OE∥AD交CD的延长线于点E，连结EB． （1）求证：EB是⊙O的切线． （2）若AC＝2，AD＝，求⊙O的半径． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径． 15．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长． 参考答案 1．【解答】（1）证明：连结OA． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA． ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA． ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE． ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90° ∴四边形AOFE是 ... ...