8.1.2 向量数量积的运算律 课件(共16张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修3

(课件网) 8.1.2 向量数量积的运算律 人教B版(2019)必修第三册 1.掌握向量数量积的运算律. 2.能根据运算律解决一些向量数量积的运算问题. 问题：实数乘法有哪些运算律？结合向量的线性运算的运算律，猜想向量数量积的运算律. ① ③ ② 实数乘法 猜想 ①a·b=b·a； ③(a+b)·c=a·c+b·c. ②(ab)·c=a·(bc)； 向量数量积 向量数量积的运算律的猜想、证明： 猜想①：当a，b是两个非零向量时，因为 = ，所以根据 a·b = |a| |b| cos ，b·a= |b| |a| cos 可知： 即向量数量积满足交换律，猜想①成立！ a·b =b·a m n 猜想 ②： 但 与 a 不一定是共线的，故猜想 ② 不成立！ 思考：三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘是否满足结合律呢？ （1）当，中至少有一个是零向量或λ = 0时： (λ)·= λ() ； 两个向量和一个实数相乘： 猜想 (λ)·= λ(·) 综上所述，猜想成立，即两个向量和一个实数相乘满足结合律. （2）若 λ > 0：则|λ| = λ||，且 λ的方向与的方向相同，从而 <，> = <，>， 因此 (λ)·= |λ|·|| cos <，> = λ||·|| cos <，> = λ(·)； （3）若 λ < 0：则|λ| = – λ||，且 λ的方向与的方向相反，从而 <，> = π – <，>， 因此 (λ)·= |λ|·|| cos <，> = – λ||·|| cos(π – <，>) = λ(·). 猜想③：(a+b)·c=a·c+b·c （1）当a，b，c中至少有一个是零向量时： (a+b)·c=a·c+b·c成立； （2）当a，b，c均不为零向量时： 此时，|c| ≠ 0，设c0= ，即c0是与c同向的单位向量； 如图所示，设点O与c0都在直线 l 上，且 =a， =b， 则 = + = a+ b. 过 A，B 分别作直线 l 的垂线AA'，BB'， 由向量投影的定义可知，a在c0上的投影为，b在c0上的投影为， a+b在c0上的投影为； 又因为 = + ， 所以根据向量数量积的几何意义可知 (a+b)·c0= a·c0+b·c0， 式子两边同时乘以 |c|，即可知 (a+b)·c=a·c+b·c，即向量数量积对加法满足分配律； 同理可证：a·(b+c)=a·b+a·c，(a-b)·c=a·c-b·c. b a A B O A a + b B c0 l 对于向量a，b，c和实数 λ，有： 向量数量积的运算律 （1）a·b =b·a； （2）(λa)·b = λ(a·b)； （3）(a±b)·c=a·c±b·c. 思考：“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ 不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等． 例1 已知a与b的夹角θ=150°，且|a|=3，|b|=4，求: (1)(a+b)·(a-2b)；(2)|a+2b|. 解:(1)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2 =|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2 =32-3×4×cos 150°-2×42 =-23+6. (2)∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2 =32+4×3×4×cos 150°+4×42 =73-24， ∴|a+2b|=. 例2 已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，求k的值. 解:∵3a+2b与ka-b互相垂直， ∴(3a+2b)·(ka-b)=0， ∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0. ∵a⊥b，∴a·b=0， 又|a|=2，|b|=3，∴12k-18=0，k=. 例3 求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 1.下列说法正确的是(　　) A.|a·b|=|a||b| B.a·b≠0 |a|+|b|≠0 C.a·b=0 |a||b|=0 D.(a+b)·c=a·c+b·c 2.若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° D C 3.已知向量a、b的夹角为60°，|a|＝|b|＝1，且向量a与λb－a垂直，则实数λ＝_____. 4.设向量a，b满足|a+b|=，|a-b|=，则a·b=_____. 2 1 向量数量积的运算律 交换律 结合律 分配律 a·b =b·a (λa)·b = λ(a·b) (a±b)·c=a·c±b·c ... ...