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课件网) 8.2.4 三角恒等变换的应用 人教B版(2019)必修第三册 1.能用倍角公式导出半角公式. 2.掌握和差化积、积化和差公式的结构特征. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α； C2α：cos 2α = cos2α sin2α = 1 2sin2α = 2cos2α 1； T2α：tan 2α = . 忆一忆：写出α的倍角公式. 问题1：试以 cos α 表示 sin2，cos2，tan2 . α 是 的二倍角，在倍角公式 cos 2α = 1 2sin2α 中， 以 α 代替 2α，以 代替 α 得：cos α = 1 2sin2 ，所以 sin2 = ①； 同理：根据倍角公式 cos 2α = 2cos2α 1得：cos2 = ②； 将①②两个等式的左右两边分别相除得：tan2 = . 已知：sin2 = ，cos2 = ，tan2 = ； 问题2：已知 cos α = ，求出 sin ，cos ，tan 的值. 由上式可得：sin =±，cos =±，tan =± ； 将 cos α = 分别带入即可求出 sin ，cos ，tan 的值. 半角公式 下列公式称为半角公式，符号由角 的象限决定. sin = ±，cos =±，tan =± 思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？ 降幂与升幂公式 sin2β = ，cos2β = ，tan2β = 降幂公式 半角公式： cos 2β = cos2β – sin2β = 2cos2β – 1 = 1 – 2sin2β； tan 2β = ； 升幂公式 倍角公式： 1.公式的“本质”是用 角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2.根号前均有“± ”，它是由角“ ”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留. 3.半角之间的相对性. 注意： 例1 求证： 证：左边 =右边. 例2 等腰三角形顶角的余弦值为,求它的底角的正弦、余弦和正切. 解：设顶角为α，底角为θ，则cos α=,α+2θ=2π， ∴θ∈(0，)，cos 2θ=cos(π-α)=-cos α=-， ∴sin θ==，cos θ==，tanθ==. 问题3：求证： （1）sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]； （2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos . 证明：（1）因为 sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β， sin (α – β) = sin α·cos β – cos α·sin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①， 即 sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]，故（1）得证； 求证：（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos . 证明：（2）由（1）可得：sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ① ， 设：α = ，β = ，把 α、β 带入 ① 中， 即得：sin θ + sin φ = 2 sin · cos ，故（2）得证； 问题4：参照问题3，证明下列式子. （1）cos α·cos β = [cos(α+β)+cos(α–β)]； （2）cos θ+cos φ = 2coscos . 思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？ 积化和差与和差化积公式 （1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]； （2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]； （3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)]. 积化和差 （1）sin θ + sin φ = 2sin cos； （2）sin θ – sin φ = 2cos sin； （3）cos θ + cos φ = 2cos cos； （4）cos θ – cos φ = –2sin sin. 和差化积 例3 已知sin(θ+)sin(θ-)=，求tan θ. 解：∵sin(θ+)sin(θ-)=-， ∴cos 2θ=-=， ∴tan θ=±2. 分析:先化简条件,再求值. 例4 求函数y=sin x[sin x-sin(x+)]的最值. 解：y=sin x[sin x-sin(x+)]=sin x·2cos(x+)sin(-) =-sin xcos(x+) =-[sin(2x+)+sin(-)] =-sin(2x+)+， ∵sin(2x+)∈[-1，1]， ∴当sin(2x+)=-1，即x=kπ-，k∈Z时，ymax=. 当sin(2x+)=1，即x=kπ+，k∈Z时， ... ...
