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课件网) 8.2.4 三角恒等变换的应用 1. 能用倍角公式导出半角公式，掌握三角恒等变换的基本方法； 2. 能利用三角恒等变换对三角函数式求值以及三角恒等式的证明. 知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角标点占一个字节，但不管是全角还是半角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢？二者的三角函数之间有何关系？ 是的半角，α是2α的半角． 问题：你能利用倍角公式C2α推导出以下公式吗？ 事实上，由C2α可得 类似地， 概念生成 半角公式 sin = ±，cos =±，tan =± 思考：半角公式中的正负号能否去掉 该如何选择 不能. ①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号; ②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号. 讨论：半角公式对α∈R都成立吗 半角的正弦、余弦公式对α∈R都成立, 但正切公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z). 例1 求，，. 解：因为是第一象限角，所以 sin = = 例2 化简： 解：原式 ∴原式=cos α. 思考：如果已知,,你能求出以及的值吗？ cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② 公式推导： cos (α + β) + cos (α – β) = 2cos α·cos β ①＋② cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] ∴cos α·cos β = [+]= cos (α + β) = cos α·cos β – sin α·sin β，① cos (α – β) = cos α·cos β + sin α·sin β，② ① ② cos (α + β) cos (α – β) = 2sin α·sinβ sinα·sin β = [cos (α+β) cos (α – β)] ∴sinα·sin β =-[ - ]=- 追问：如果已知，的值，如何求以及的值呢？ 公式推导： sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①＋② sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] sin (α + β) = sin α·cos β – cos α·sin β，① sin (α – β) = sin α·cos β + cos α·sin β，② ① ② sin (α + β) sin (α – β) = 2cos α·sinβ cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] 总结归纳 ①cos α·cos β = [cos (α+β) + cos (α – β)] ②sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ③sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)] ④cosα·sin β = [sin (α+β) sin (α – β)] 积化和差公式 α = ，β = （1）sin θ + sin φ = 2sin cos； （2）sin θ – sin φ = 2cos sin； （3）cos θ + cos φ = 2cos cos； （4）cos θ – cos φ = –2sin sin. 和差化积公式 例3 已知sin A+sin 3A+sin 5A=a，cos A+cos 3A+cos 5A=b，求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2. 证:由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3A·cos 2A+sin 3A=a， (cos A+cos 5A)+cos 3A=2cos 3Acos 2A+cos 3A=b， 则sin 3A(2cos 2A+1)=a，① cos 3A(2cos 2A+1)=b，② 两式平方相加得(2cos 2A+1)2=a2+b2. 例4 (1)求值：sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. 解：(1)原式 [思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. (2)原式=cos 70°cos 50°cos30°cos10° 例5 已知f(x)=-,x∈(0,π). (1)将f(x)表示成cos x的多项式. ... ...
