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课件网) 10.1.2 复数的几何意义 1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系. （重点） 2.了解复数的几何意义.（难点） 3.会用复数的几何意义解决有关问题. 实数可以用数轴上的点来表示. 实数 数轴上的点 (形) (数) 一 一 对应 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 在几何上，我们用什么来表示实数 问题导入 探究点1 复数的几何意义（一） 复数的一般形式 z=a+bi(a, b∈R) 实部 虚部 一个复数由什么唯一确定？ 思考1 (４) (３) (６) (５) O (２) (１) 复数与点的对应： x y (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)５； (6) . 复数z=+bi 有序实数对(,b) 直角坐标系中的点Z(,b) x y o b Z(,b) 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面 x轴———实轴 y轴———虚轴 （数） （形） ———复平面 一 一 对应 z=+bi 探究点2 共轭复数 x y O B 3 – i A 3 + i A，B 两点关于实轴对称 设 3 + i 与 3 – i 在复平面内对应的点分别为 A 与 B，在复平面内画出点 A，B，并说说两点的位置关系是怎样的？ 思考1 当 ，∈R 时，复数 + bi 与 – bi 在复平面内对应的点又有什么位置关系？ 思考2 一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，其中复数 z 的共轭复数用 表示； 因此，当 z = + bi (a，b∈R) 时，有 = – bi. x y O + bi – bi B A 如图，在复平面内，表示两个共轭复数的点关 于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平 面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 共轭复数定义 探究点3 复数的几何意义（二） 复数z=+bi 复平面内的点Z(,b) 一 一对应 一 一对应 一 一对应 x y o b Z(,b) z=+bi 平面向量 平面向量 代数形式 几何形式 向量形式 在复平面内，复数除了用点来表示，还可以用什么来表示呢？ 思考 x y 1.写出图中的各点表示的复数. 2.在复平面内，作出表示下列复数的点和向量： 3-i,4+i,7,i,6-4i,-1+4i. 练一练 解：1.A:3+4i，B:2+i， C:-5+i，D:-1-i； x y 2.如图所示， A:3-i，B:4+i，C:7, D:i，E:6-4i，F:-1+4i. 如图，复数 z1 = 3 + i 对应向量= (3，1)， 复数 z2 = 3 – i 对应向量= (3，– 1)； 由图可知 |3 + i| = |3 + i| = ，即两个共轭复数的模相等，|z| = ||. x y O Z2 3 – i 3 + i Z1 一般地，向量 = (a，b) 的长度称为复数 z = + bi 的模 (或绝对值)，复数 z 的模用 |z| 表示，因此 |z| = . 注：当 b = 0 时， |z| = = ||（复数的模是实数绝对值概念的推广）. 探究点4 复数的模 实数绝对值的几何意义: x O A a |a| = |OA| 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离. x O z=a+bi y |z|=|OZ|= 复数的模的几何意义: 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. Z(a,b) 解： 解： 求的模和它们的共轭复数. 练一练 设复数 z1 = 3 + 4i 在复平面内对应的点为 Z1，对应的向量为 ；复数 z2 在复平面内对应的点为 Z2 ，对应的向量为 ，已知 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，求 z2，并判断 || 与 || 的大小关系. 由题意可知 Z1 (3，4)，又因为 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，所以 Z2 (– 3，4)，从而有 Z2 = – 3 + 4i，因此 |Z2| = = 5. 又因为 || = |z1| = = 5，|| = |z2| = 5，所以 || = ||. 例1 解析 例题讲解 设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示. （1）| z | = 2； （2）1 < | z | ≤ 3. （1）由 |z| = 2 可知向量的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离始终等于 2，因此点 Z 组成的集合是圆心在原点、半径为 2 的圆，图形如图所示； y O x 例2 解析 例题讲解 y O x （2）不等式 1 < |z| ≤ 3 等价于不等式组 ， 又因为满足 |z| ≤ 3 的点 Z 的集合，是圆 ... ...
