10.3 复数的三角形式及其运算 课件(共21张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册

(课件网) *10.3 复数的三角形式及其运算 第十章 复数 1. 了解复数的三角形式及辐角与辐角主值的概念； 2. 能进行复数三角形式与代数形式的互化； 3. 了解复数乘除运算的三角形式及其几何意义. 复数 z = a + bi 一一对应 一一对应 复平面内的点 Z (a，b) 平面向量 一一对应 a b Z：a + bi O y x 回顾：复数的几何意义是什么？ 知识点 1：复数的三角形式 如图，若非零复数 z = a + bi (a，b∈R) 在复平面内对应点 Z (a，b)， 且 r 为向量 OZ 的模，θ 是以 x 轴正半轴为始边、射线 OZ 为终边的一个角， 则 r = |z| = . 根据余弦、正弦的定义可知 cos θ = ，sin θ = ， 因此 a = rcos θ，b = rsin θ， 从而 z = a + bi = (rcos θ) + (rsin θ)i = r(cos θ + isin θ). a b Z O y x r θ rsin θ rcos θ 思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ z = a + bi = r (cos θ + isin θ) r = |z| = cos θ = sin θ = 复数的三角形式 一般地，任何一个复数 z = a + bi (a，b∈R) 都可以表示成 任何一个非零复数 z 的辐角都有无穷多个，且任意两个辐角之间都相差 2π 的整数倍. 其中在 [0，2π) 内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z. 代数形式 三角形式 辐角 复数的模 概念生成 例1 把下列复数的代数形式改写成三角形式. （1） + i ； （2）i. 例1 把下列复数的代数形式改写成三角形式. （1） + i ； （2）i. 变式：分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式． （1）4(cos +isin ) ； （2）2(cos －isin ). 归纳总结 复数的代数形式化为三角形式的四个步骤： (1)先求复数的模． (2)确定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 知识点 2：复数三角形式的乘除法 问题 1：z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)，z2 = r2(cos θ2 + isin θ2)，试求出 z1z2. 即 问题 2：如何用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？ 模相乘，辐角相加：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数乘法的几何意义 把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2， 两个复数 z1，z2 相乘时， 再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量 表示的复数就是积 z1z2． (如果 θ2 < 0，就要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角 |θ2|) 作出与复数 z1，z2 对应的向量 概念生成 问题 3：如何解释 i2 = – 1 和 (– 1)2 = 1 的几何意义？ 所以 i2 = –1可以改写为 几何意义：将 i 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 得到 –1 对应的向量； (–1)2 = 1可以改写为 因为 ， 几何意义：将 –1 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 π，得到 1 对应的向量. [r(cos θ + isin θ)]n = rn[cos (nθ) + isin (nθ)] 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可推广到有限个复数的三角形式相乘. 特别地，如果 n∈N，则 归纳总结 问题 4：复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，如何推导出复数除法运算的三角表示？ 所以根据复数除法的定义，有 因为 设 ，且 z1 ≠ z2. = [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)] 模数相除，辐角相减： 两个复数相除，商的模等于被除数模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. = [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)] 归纳总结 复数除法的几何意义 把向量 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2 (θ2 > 0)， 两个复数 z1，z2 相除时， 再把它的模变为原来的 倍，得到向量 表示的复数就是商 ． 作出与复数 z1，z2 对应的向量 概念生成 例2 计算. （1）5(cos +isin )×2(cos +isin )； （2）. 解：（1）原式=10(cos +isin )=10()=; （2）原式===16(cos +isin )=16i. A C ... ...