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课件网) 11.3.2 直线与平面平行 1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能利用以上定理解决空间中的相关平行问题. 线 面 位 置 关 系 特征 图形表示 符号表示 内容 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 a a A a a a ∩ =A a ∥ a 复习回顾 将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？ A B C D 从中你能得出什么结论？ 如何判断线面平行？ 思考1 （一）线面平行判定定理 猜想： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 已知：l m l//m. 求证：l// l m P 证明：假设， 因为直线与直线平行， 所以他们可以确定一个平面(记为)， 由于， 所以， 又因为， ， 因此根据平面的基本事实3，点P一定在与的交线上， 于是直线与相交，这与 矛盾，所以，即 直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. b a∥ b a a ∥ b a 注明： 1.定理三个条件缺一不可. 2.简记：线线平行，则线面平行. 3.定理告诉我们： 要证线面平行，只要在面内找一条线，使线线平行. b a b a∥ b a a ∥ 1.判断：对的打“√”,错的打“×”. (1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ) (2)若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交. ( ) (3)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α. ( ) (4)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b. ( ) × √ × × 提示:(1)×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该命题错误. (2)√.若直线l∥平面α,则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的任意一条直线都不相交. (3)×.直线b有可能在平面α内. (4)×.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a与b平行、相交和异面都有可能. 例1 已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点， 求证：EF∥平面BCD A B C D E F 证明：连接BD， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF ∥ BD ∴EF ∥平面BCD BD 平面BCD ∩ 在△ ABD中 又∵EF 平面BCD， 练习1 如图,在三棱锥P-ABC中,O,D分别是AC,PC的中点. 求证:OD∥平面PAB. 证明:在△ACP中, ∵O为AC的中点,D为PC的中点 ∴OD∥AP. ∵OD 平面PAB,AP 平面PAB, ∴OD∥平面PAB. 练习2 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点. 求证：AF∥平面PCE. 练习3 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内， P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. 练习3 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内， P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. 平行关系的传递性 三角形中位线 平行四边形 平行线分线段成比例 方法小结 （二）线面平行性质定理 （1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？ （2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线a 平行的一条直线？ 思考2 m l 证明：因为， 与没有公共点， 又因为，所以， 注意到且 所以与共面且没有公共点，即 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 m l 例2.如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)l与BC是否平行？说明理由； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论. 解: (1)平行，理由如下： 因为BC∥AD，BC 平面PAD， AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又平面PBC∩平面PAD ... ...
