人教版2024-2025学年级八年级数学下册《勾股定理》专题练习专题10勾股定理与折叠(3种几何模型和5类题型)(原卷版+解析)

专题 勾股定理与折叠（3种几何模型和5类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分，本专题共梳理出以下三种折叠模型，通过勾股定理建立方程得以解决。 【模型一】折叠构造直角三角形 折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。 【模型二】折叠构造全等三角形 折叠前后图形重合，因而产生了全等三角形，通过对应边相等、对应角相等进行线段、角的转化，通过勾股定理建立方程，从而达到解决问题的目的。 【模型三】折叠构造等腰三角形 由折叠产生角平分线，由由特殊图形的边平行，从而通过“平行线+ 角平分线”得等腰三角形，再利用勾股定理解决问题。 【题型目录】 【题型1】折叠构造直角三角形.........................................................1 【题型2】折叠构造全等三角形.........................................................6 【题型3】折叠构造等腰三角形.........................................................9 【题型4】直通中考..................................................................12 【题型5】拓展延伸..................................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】折叠构造直角三角形 【例1】如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． （1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 解：（1）证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 【变式1】如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】求的面积，边是的高，有，利用勾股定理可求出边即可．本题考查了折叠与勾股定理． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， 设， ∵使点B与点D重合，折痕为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 的面积为． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【变式3】如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当时，如图，当时，设，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当时， 设， ∴ ... ...