人教版2024-2025学年级八年级数学下册《平行四边形》练习专题6特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题(原卷版+解析)

专题 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编之四大题型 特殊平行四边形中折叠问题 例题：如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm． 【答案】3 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边． 求的长，应先设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：3． 【变式训练】 1．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 由折叠得点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 四边形是矩形，， ， ， 故答案为：． 2．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图中，求出等边的高即可．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图中， 四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴ ． 如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 特殊平行四边形中旋转问题 例题：如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形的面积，结合的长即可解决问题． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 令菱形的面积为， 又∵， ∴， ∴． 又∵由绕点D旋转得到， ∴，， ∴． 在中，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式训练】 1．已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得； （2）由全等三角形的性质得，等量代换可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 2．【问题呈现】 四边形和都是正方形，直线，交于点P． 【问题解决】 （1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明； 【类比探究】 （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角． ①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由； ②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离_____． 【答案】（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；② 【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解； （2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解； ②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等 ... ...