人教版2024-2025学年级八年级数学下册《平行四边形》练习专题5正方形中的三大模型题(原卷版+解析)

专题 正方形中的三大模型 类型一：正方形中的十字架模型 类型二：正方形中的半角（45°）模型 类型三：正方形中手拉手模型 类型一：正方形中的十字架模型 1．如图，边长分别为1和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，点B、C、E共线，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB＝∠CGE＝45°，再求出∠GDT＝45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可． 【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线， ∴∠ADB＝∠CGE＝45°， ∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴△DGT是等腰直角三角形， ∵两正方形的边长分别为1，2， ∴DG＝2﹣1＝1， ∴GT1． 故选：A． 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】如图，取AB中点O，根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°，求得BO＝OA＝2，根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠BFC，求得∠AGB＝90°，推出点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小，过P作PH⊥AB于H，根据勾股定理得到OP，求得PG＝OP﹣OG2，于是得到结论． 【解答】解：如图，取AB中点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°， ∵点O是AB的中点， ∴BO＝OA＝2， ∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB＝∠BFC， ∴∠BFC+∠FBC＝90°＝∠AEB+∠FBC， ∴∠AGB＝90°， ∴点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小， 过P作PH⊥AB于H， ∴PH＝AD＝4，AH＝DP＝1， ∴OH＝1， ∴OP， ∴PG＝OP﹣OG2， 即线段PG长度的最小值为2， 故选：C． 3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　） A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α 【分析】过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，证明△ABF和△DAH全等得AH＝BF，AF＝DH，再根据AE＝2BF得AH＝HE＝BF，再证明四边形DGEH是平行四边形得HE＝DG＝AH，进而再证明△AHD和△DGA全等得∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，则∠FAG＝90°﹣2α，AF＝DH＝AG，进而得∠AFG＝∠AGF＝45°+α，根据EG⊥AF得∠AGE＝90°﹣∠FAG＝2α，然后根据∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE即可得出答案． 【解答】解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD， ∴∠BAF+∠FAD＝90°， ∵EG⊥AF，DH∥EG， DH⊥AF， ∴∠ADH+∠FAD＝90°， ∴∠BAF＝∠ADH＝α， 在△ABF和△DAH中， ， ∴△ABF≌△DAH（ASA）， ∴AH＝BF，AF＝DH， ∴AE＝AH+HE＝BF+HE， ∵AE＝2BF， ∴BF+HE＝2BF， ∴HE＝BF， ∴AH＝HE＝BF， ∵AB∥CD，DH∥EG， ∴四边形DGEH是平行四边形， ∴HE＝DG， ∴AH＝DG， 在△AHD和△DGA中， ， ∴△AHD≌△DGA（SAS）， ∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG， ∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α， ∵AF＝DH，DH＝AG， ∴AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF（180°﹣∠FAG）＝45°+α， ∵EG⊥AF， ∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α， ∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α． 故选：B． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为（　　） A．α B．2α C． ... ...