人教版2024-2025学年九年级数学下册《反比例函数》专题04一次函数与反比例函数的综合(拓展)(原卷版+解析)

专题 一次函数与反比例函数的综合 学习目标 1. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. 2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. 对知识点的解读 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐 标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的 x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的 取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 3.反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 解题思维方法 1.判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负。 2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称。 类型题例题解析 【例题1】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 【例题2】如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3． （1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可； （2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：当y=0时，即x-1=0， ∴x=1， 即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0）， ∴OA=1=AD， 又∵CD=3， ∴点C的坐标为（2，3）， 而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×3=6， ∴反比例函数的图象为y=； （2）解：方程组的正数解为， ∴点B坐标为（3，2）， 当x=2时，y=2-1=1， ∴点E的坐标为（2，1），即DE=1， ∴EC=3-1=2， ∴S△BCE=×2×（3-2）=1， 答：△BCE的面积为1． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键． 专题达标训练 1.已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值； （3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即 ... ...