人教版2024-2025学年九年级数学下册《反比例函数》专题03反比例函数章末七大题型总结【拔尖篇】(原卷版+解析)

专题 反比例函数章末七大题型总结【拔尖篇）】（解析版） 【题型 1 反比例函数中的动点问题】 1．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】连接AO，BO，得出S△ABP＝S△ABO，进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接AO，BO， ∵AB∥x轴， ∴S△APB＝1+3＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，P是反比例函数图象上的一个动点，连接PA，PB，当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】过P作MN∥AB交y轴于M，交x轴于N，过N作NK⊥AB于K，设AB交x轴于T，根据当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，可知在AB左侧，过P与AB平行的直线与反比例函数的图象只有一个交点（交点为P），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，可得x2﹣bx+4＝0，故Δ＝b2﹣16＝0，解得b＝4或b＝﹣4（舍去），有y＝﹣x+4，可求出N（4，0），T（5，0），从而NT＝5﹣4＝1，即可得点P到直线AB的距离为． 【解答】解：过P作MN∥AB交y轴于M，交x轴于N，过N作NK⊥AB于K，设AB交x轴于T，如图： ∵当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个， ∴在AB左侧，过P与AB平行的直线与反比例函数的图象只有一个交点（交点为P）， 设直线MN解析式为y＝﹣x+b， 联立得﹣x+b， ∴x2﹣bx+4＝0， ∴Δ＝b2﹣16＝0， 解得b＝4或b＝﹣4（舍去）， ∴y＝﹣x+4， 令y＝0得x＝4， ∴N（4，0）， 在y＝﹣x+5中，令y＝0得x＝5， ∴T（5，0）， ∴NT＝5﹣4＝1， 由y＝﹣x+5可知，∠NTK＝45°， ∵NK⊥AB， ∴△NTK是的等腰直角三角形， ∴NK， ∴点P到直线AB的距离为； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是读懂题意，求出△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个需满足的条件． 3．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 　②③④　．（填序号） 【分析】根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论． 【解答】解：点P是动点， ∴BP与AP不一定相等， ∴△BOP与△AOP不一定全等，故①错误； 设P（m，n）， ∴BP∥y轴， ∴B（m，）， ∴BP＝|n|， ∴S△BOP|n|×|m|＝|3mn|， ∵PA∥x轴， ∴A（，n） ∴AP＝|m|， ∴S△AOP|m|×|n|＝|3mn|， ∴S△AOP＝S△BOP，②正确； 如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F， ∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB， ∴PE＝PF， ∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA， ∴OP平分∠AOB，③正确； 如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M， ∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∵点A，B在双曲线y上， ∴S△AMO＝S△BNO＝3， ∵S△BOP＝2， ∴S△PMO＝S△PNO＝1， ∴S矩形OMPN＝2， ∴mn＝2， ∴m， ∴BP＝|n|＝|3n﹣n|＝2|n|， AP＝|m|＝||， ∴S△ABP2|n|×||＝4，④正确； 故答案为②③④． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ... ...