人教版2024-2025学年九年级数学下册《反比例函数》专题02反比例函数(知识串讲+热考题型+真题训练)(原卷版+解析)

专题 反比例函数 【考点01:反比例函数的定义】 【考点02:反比例函数系数K的几何意义】 【考点03:反比例函数的图像】 【考点04:反比例函数图像的对称性】 【考点05:反比例函数的性质】 【考点06: 待定系数法求反比例函数解析式】 【考点07:反比例函数与一次函数的交点问题】 【考点08:反比例函数与一次函数的综合】 【考点09:反比例函数的实际应用】 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点2 反比例的图像和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 【考点01:反比例函数的定义】 【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】若为关于的反比例函数，则的值是（ ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【考点02:反比例函数系数K的几何意义】 【典例3】如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（ ） A．8 B．2 C．4 D．6 【变式3-1】如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （ ）． A．10 B．8 C．5 D．4 【变式3-3】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C和边的中点D．若，则k的值为（ ） A． B． C． D． 【考点03:反比例函数的图像】 【典例3】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A．B．C．D． 【变式3-1】正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ） A．B．C． D． 【变式3-2】正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【变式3-3】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【考点04:反比例函数图像的对称性】 【典例4】若反比例函数的图象经过点， ... ...