人教版2024-2025学年九年级数学下册《解直角三角形》专题01锐角的三角函数【十大题型】(原卷版+解析)

专题 锐角的三角函数【十大题型】 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 2 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 5 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 9 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 14 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 20 【题型6 求特殊角的三角函数值】 24 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 27 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】 30 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】 33 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】 35 【知识点1 锐角三角函数】 在中，，则的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 【知识点2 特殊角的三角函数值】 三角函数 30° 45° 60° 1 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a sinA B．b＝a tanA C．c＝a sinA D．a＝c cosB 【答案】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则 sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误； tanA＝，则b＝，故B选项错误； cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【变式1-3】图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求： (1)在图①中以和为边画四边形， 点在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等． (2)在图②中以为边画， 使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（1）根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边互相平行即可作出； （2）根据正切值的定义即可作出． （1） 解：作图如下： 根据该四边形有两组对边相等可知这个四边形是平行四边形， 再由平行四边形的对边互相平行可知，AD∥BC， 由BC平移可以得到AD， ∵点B向上平移三个单位，向右平移一个单位，得到点A， ∴点C向上平移三个单位，向右平移一个单位，即可得到点D． （2 ... ...