专题 解直角三角形及其应用 一、基础知识点 1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系： sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. 3.解直角三角形的应用 4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角． 5.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 二、热门考点训练 考点1：解直角三角形 典例：如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值． 【答案】5， 【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【详解】在中， ,， ． 方法或规律点拨 本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键． 巩固练习 1．已知：在中，，则BC的值（ ） A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个 【答案】B 【分析】如图， 过作于，再利用特殊角的三角函数值求解的长度，再以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，从而可得答案． 【详解】解：如图， 过作于， ∴， ∵， ∴以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置， ∴的值有两个． 故选B． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，圆的基本性质，熟练的画出图形解题是关键． 2．在Rt中，，如果，，那么AC的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】如图： 在Rt中，AC． 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系． 3．在中，，，，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键． 4．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 则坡的铅垂高度为（米）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，合理选择三角函数是解题的关键． 5．在中，，，是边上的高，，则的长为_____． 【答案】2 【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出，勾股定理求出，最后利用线段的和差阿关系求出． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质、勾股定理是解决本题的关键． 6．如图，△ABC中，，垂足H ... ...
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