2024-2025学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（八） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为纯虚数，则实数的值为． A. B. C. D. 2.若集合，，满足：，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4.已知直线：与圆：交于，两点，则的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 5.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 6.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理：“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等一段弯曲的水管，如图，其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线与两直线围成的平面区域，如图，根据祖暅原理，计算该段水管的体积为( ) A. B. C. D. 7.已知桌面上灯光的强度可以用表示，其中是灯与桌面上被照点的距离，是光线与桌面的夹角， 在半径为的圆桌中心正上方安装一个吊灯，为使桌边最亮，吊灯应离桌面的高度为( ) A. B. C. D. 8.如图，水平放置的正方形的边长为，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在二项式的展开式中，正确的说法是( ) A. 常数项是第项 B. 各项的系数和是 C. 偶数项的二项式系数和为 D. 第项的二项式系数最大 10.对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形能够被这个圆完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆下列曲线围成的图形的最小覆盖圆的半径为的是( ) A. B. C. D. 11.在锐角中，，角，，的对边分别为，，，则下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，设椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为_____． 13.已知当且时，函数取得最大值，则的值为 ． 14.若，，恒有，则正整数的最大值为_____参考数据： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了年人才引进的数量单位：万人，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图表示年份代码，年份代码分别代表年． Ⅰ根据散点图判断与均为常数哪一个适合作为关于的回归方程类型；给出结论即可，不必说明理由 Ⅱ根据Ⅰ的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市年引进人才的数量； Ⅲ从这年中随机抽取年，记引进人才数量超过万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 其中，，，． 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 16.本小题分 如图所示，圆锥的底面半径为，侧面积为，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点． 当时，证明：平面平面； 当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知函数． 当，求在区间上的单调区间； 若恒成立，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知椭圆：的右焦点为，为椭圆上一点，且的最大值为． 求椭圆的方 ... ...
