八年级数学下册北师大版 第1章《三角形的证明》等边三角形 复习题 （含答案）

第1章《三角形的证明》复习题-- 等边三角形 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 1.如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 2.等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（ ） A． B． C． D． 3.如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4.如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 1.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ） A． B．1 C．2 D．不确 3.如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 4.如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ） A． B．2 C． D． 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 1.如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 2.如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3.如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 4.如图，在中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（ ） A． B． C． D． 【题型4 证明等边三角形】 1.如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 2.如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 3.在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 4.如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的位置关系为_____，与的数量关系为_____； (2)过点作交的延长线于点，且． ①求证：是等边三角形； ②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系． 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 1.在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1)如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； (2)如图2，若点E是的中点，求证：； (3)如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为 ． 3.如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，A点坐标为，点B在y轴上且位于A点上方，以为边向的右侧作等边，连接，并延长交x轴于点E． (1)求证：； (2)判断是否平分请说明理由； (3)在y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，在轴上，顶点的坐标为，的平分线交轴于点． (1)如图①，求点坐标； (2)如图②，为轴上一点，以为边，在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点．求的长； (3)如图③，在（1）的条件下，为轴正半轴上点上方的任意一点，在右上方作交延 ... ...