襄阳四中2024级高一年级3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 2. C. 3. D 4.D. 5. A. 6. D. 7. C 8. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. ABD 10. ACD. 11. ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. . 13. . 14. . 四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 16. （1）因， ， ， 则的最小正周期是， 令，，解得，， 故的单调递增区间是，. （2）因为将图象上各点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标变为原来的3倍，所以经过变换可得， 由题意得， 即，所以，， 解得，， 令，则，时，， 所以当时，不等式的解集为. 17. （1） ， 设，，， 方程可化为：，解得：或，或. （2）当时，，； 由（1）知：可化为， 当时，，在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，，解得：， 即实数的取值范围为. 18. （1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 19. （1） ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2）由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1.襄阳四中2024级高一年级3月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. （ ） A. B. C. D. 2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 10 6. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列命题为假命题的有（ ） A. 若“”，则“” B. 若“”，则“，” C. 函数单调递减区间为 D. 函数的最小值为5 10. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A B. C. D. 向量与向量垂直 11. 下列结论正确的有：（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 已知向量，，若，则_____． 1 ... ...
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