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课件网) 初中数学几何模型-- 手拉手模型 1. 如图，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD. 求证：△ACE≌△BCD； 第1题图 证明：∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB－∠BCE＝∠ECD－∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD， AC= BC CE = CD ∠ACE = ∠BCD, ∴△ACE≌△BCD(SAS)； 2. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD，F为BD、CE的交点. 求证：BD＝CE； 第2题图 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， AB = AC ∠BAD = ∠CAE AD= AE ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE； 模型展示 结论 (1)△AOC≌△BOD(SAS)； (2)AC＝BD； (3)两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补 模型展示 模型特点 在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接AC、BD，相交于点E.简记为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等 这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． 如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型． 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现． 第1题图 第2题图 练习 根据下面等腰三角形共顶点的手拉手模型， 请直接写出相应的两组结论： 1、△ADB和△AEC均为等边三角形 2、△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=900 3、四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形 第1题 第2题 第3题 第1题 第2题 第3题 结论 ①△ADC≌△ABE，CD=BE ②∠DAB=∠DOB=60° 结论 ① △ADB≌△AEC，BD=CE ② ∠BOC=∠BAC=90° 结论 ①△ADG≌△CDE，AG=CE ②∠AHC=∠ADC=90° 解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∠OAB＝∠OCD＝30°， ∴∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD， = = ， ∴△AOC∽△BOD， ∴ = = ； 第3题图 3. 如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.求 的值； 解：由题意可知，在矩形ABCD、DEFG中，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠EDG＋∠GDA＝∠ADC＋∠GDA，即∠EDA＝∠GDC， ∵AD＝2DE，AB＝DC＝2DG，∴ ∵AD＝DG，∴ = = ∴△EDA∽△GDC，∴ = = 4. 如图，在矩形ABCD、DEFG中，AD＝2DE，AB＝2DG，AD＝DG，将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE、CG交于点P.求 的值； 模型展示 模型特点 △AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转， 简记为：非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似 结论 ①△AOC∽△BOD； ② ； ③两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补 1． 将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕A点逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），BD的延长线交CE于点P. （1）如图②，求证：BD＝CE，BD⊥CE； （2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP长． 图② 图① 图③ 课后作业 2. 将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE. (1)如图①，当α＝60°时，△DEB′的形状为_____，连接BD，可求出 的值为_____； (2)当0°＜α＜360°，且α≠90°时， ①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值． ... ...
