2024-2025学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值是( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.在复平面内，复数对应的向量，则( ) A. B. C. D. 4.在中，若，则( ) A. B. C. D. 5.若，则( ) A. B. C. D. 6.在中，若，则是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7.已知菱形中，，，，，若，则( ) A. B. C. D. 8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.计算下列各式，结果为的是( ) A. B. C. D. 10.关于复数，，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 若，则，中至少有一个是虚数 11.东汉末年的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形对于图下列结论错误的是( ) A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，若，则与夹角的余弦值为_____． 13.若函数的图像关于直线对称，则 _____． 14.在锐角中，，且的面积为，过分别作于，于，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知为虚数单位，复数． 当实数取何值时，是纯虚数； 当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16.本小题分 已知，． 求的值； 若，且，求的值． 17.本小题分 为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． 求的值和的大小； 若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？ 18.本小题分 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”． 若向量的“完美坐标”为，求； 已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； 若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域． 19.本小题分 已知的面积为，点在边上，． 若，， 证明：； 求； 若，求的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：若复数是纯虚数， 则，解得． 当时，， 把代入方程得：， 整理得：， 所以，解得，． 16.解：， 结合，可得，， 所以； 因为，且， 所以，所以， 所以， 又因为，所以． 17.解：由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为． 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以． 由可知，，且， 则， 可得， 则矩形的面积为 ， 又因为，则， 可知当，即时，， 所以矩形取得最大值． 18.解：因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以，， 所以． 证明：由知，，， 所以 ， 即． 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由得． 令，则， 因为，所以，即， 令， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为． 19.证明：因为，， ... ...
