2024-2025学年福建省莆田市擢英中学高一（下）4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知向量，满足，则． A. B. C. D. 3.在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则( ) A. B. C. D. 4.已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5.已知，，则( ) A. B. C. D. 6.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 7.在中，若，则的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8.已知函数在上单调递减，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，，则或 C. 若，则 D. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为 10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( ) A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( ) A. 若，则 B. 若，，，则符合条件的有两个 C. 若为锐角三角形，且，则 D. 若是钝角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12.已知是纯虚数，是实数，那么 _____． 13.设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 14.目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高，该同学眼高眼睛到地面的距离，该同学在初始位置处眼睛所在位置测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为求出山高 _____结果保留整数；如图，当该同学面向基站前行时保持在同一铅垂面内，记该同学所在位置处眼睛所在位置到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为试问当 _____时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，，设函数． 写出函数的对称中心； 若求函数的最值及对应的的值； ，若为奇函数，求的值． 16.本小题分 如图，在边长为的菱形中． 求； 若为对角线上一动点连结并延长，交于点，连结，设当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 17.本小题分 已知的内角，，的对边为，，，且， 求； 若的面积为， 已知为的中点，且，求底边上中线的长； 求内角的角平分线长的最大值． 18.本小题分 已知平面四边形如图所示，其中，，． 若，，点为线段的中点，求的值； 若，求的值． 19.本小题分 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：． 试求解下列问题： 已知向量满足，求的值； 在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； 已知向量，求的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题意可得，向量，， ， 令，解得， 所以函数的对称中心为； 由时，， 由正弦函数的单调性可知， 则当时，即时，取得最大值， 当时，即时，取得最小值； 由题意可得为奇函数， 则，解得， 又，当时，， 当时，． 16.解：在菱形中，易知，， 所以 ； 在菱形中，，易知∽， 由，可得， 又，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 17.解：的内角，，的对边为，，，且， 由正弦定理，得，即， 故， 所以， 所以； 由知， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以； 因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故， ... ...
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