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课件网) 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式，能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关的实际问题.（难点） 情景引入 一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么能否求出其他几何体的体积呢？ 同一摞书，当改变摆放书的形状时（如图所示），这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？ 祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。 “势”即是高，“幂”即是面积。 祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 水平截面面积 高 这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图所示. 1.祖暅原理 被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等． 根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等． 思考3 （1）夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？ （2）若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？ 2.柱体体积 问题：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？ 3.锥体体积 问题：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅原理推导锥体的体积公式吗？ S h S S h 3.锥体体积 如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的,3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 例1. 如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥D'-A'CD的体积与长方体的体积比. 例题讲解 例题讲解 1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC，AB=4 cm，AC=3 cm，AA1=5 cm，BD=2 cm,则剩余部分的体积为_____cm3. 24 例2. 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为_____ 例题讲解 4.台体体积 问题：我们学过柱体和锥体的体积公式，那么台体的体积可以通过我们已知的知识得到吗？ 例3. 已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积。 例题讲解 问题：柱体、锥体、台体它们的体积公式之间有怎样的联系呢？ 三者之间的关系 上底扩大 上底缩小 例3.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积； (2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比． 例题讲解 例题讲解 例4. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积； (2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积． 例题讲解 例题讲解 (2)作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D． 例题讲解 问题： （1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？ （2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？ 5.球体体 ... ...
