2.3 导数的计算 课件（共20张PPT）2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

第二章 导数及其应用 2.3 导数的计算 北师大版(2019)选择性必修二 1.理解导函数的概念． 2.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， ????=????????，????=?????的导数． 3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． ? 导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数f＇(x0)，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 问题：已知函数????????=????2，任取一个实数????0，判断????????在????0处是否可导，如果可导，求出????′????0. ? 设自变量在????=????0附近的改变量为?????，则函数在以????0， ????0+ ?????为端点的闭区间上的平均变化率为 ?????????? =????????0+??????????(????0)????? =(????0+?????)2?????02????? =2????0+?????. 可以看出，当?????无限接近于0时，平均变化率无限接近于2????0，因此????????在????0处可导，而且 ????′????0 =lim?????→0????????0+??????????(????0)?????=lim?????→02????0+?????=2????0. ? ????′????0 =2????0 ? 思考：请观察????′????0与????0有什么关系？ ? ????′????0随着????0变化而变化，而且????0的值确定之后，????′????0也就确定了. 例如 ????0=2时， ????′2 =2×2=4； ????0=?3时， ????′?3 =2×?3=?6； 这就说明，????′????0是????0的函数. ? 一般地，如果一个函数y=f(x)在区间（a,b）的每一点x处都有导数 那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′. 例1 分别求出下列函数的导数： （1） ????????=????，期中C是常数； （2） ????????=????； （3）????????=????3; （4）????????=1????； （5）????????=????(????>0). ? 解：(1)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0??????????????=lim?????→00=0. (2)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0????+???????????????=lim?????→01=1. (3)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)????? =lim?????→0????+?????3?????3?????=lim?????→0[ 3????2+3???? ?????+(?????)2]=3????2. ? （4）????????=1????； （5）????????=????(????>0). ? (4)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)????? =lim?????→01????+??????1?????????=lim?????→0?1????(????+?????)=?1????2. (5)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)????? =lim?????→0????+???????????????=lim?????→0??????????(????+?????+????)=lim?????→01????+?????+????=12????. ? 为了简单起见，前面我们得到的有关导函数的结论通常简写为: ????′ =0； ????′ =1； (????2)′ =2????； (????3)′ =3????2； (1????)′ =?1????2； (????)′ =12????. ? 观察上述导函数的结论，归纳出????????=????????（ ????≠0?）的导函数具有形式(即写出(????????)′的结果). ? 注意到1???? =?????1，1????2=?????2，所以(1????)′=?1????2可以改写为(?????1)′ =??????2； 类似地，(????)′ =12????可以改写为(????12)′ =12?????12. 结合(????2)′ =2x和(????3)′ =3????2，可以归纳出(????????)′ =?????????????1. ? 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝___ y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ex)′＝___ y＝logax(a>0，a≠1) y′＝_____特别地(ln x)′＝____ y＝sin x y′＝_____ y＝cos x y′＝_____ y＝tan x y′＝_____ axln a ex 0 cos x －sin x 归纳总结 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对 ... ...