2.6.1 函数的单调性 第二章 导数及其应用 1.理解导数与函数单调性的关系. 2.会利用导数判断或证明函数单调性. 3.会利用导数求函数单调区间. 我们知道，对于函数y=f(x)来说，导数f?(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？ 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x． 问题1：试判断上面六个函数的单调性. 问题2：求上面六个函数的导数． 问题3：试判断所求导数的符号. ? 1：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的． 3：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负． 2： 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. ? 当f ′(x)>0， f(x)单调递增; 当f '(x)<0， f(x)单调递减. 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： 归纳总结 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)>0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)<0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 注意：若在某个区间内，f?(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内，f?(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 【例1】求证:函数f(x)=ex-x-1在区间(0，+∞)内单调递增，在区间(-∞，0)内单调递减. 证:由f(x)=ex-x-1，得f'(x)=ex-1. 当x∈(0，+∞)时，ex>1，即f'(x)=ex-1>0， 故函数f(x)在区间(0，+∞)内单调递增; 当x∈(-∞，0)时，ex<1，即f'(x)=ex-1<0， 故函数f(x)在区间(-∞，0)内单调递减. 【例2】利用导数判断下列函数的单调性： (1)f (x) = 13x3-x2+2x-5；(2)f(x)＝x－ex(x>0). ? 解:(1)因为f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以函数f (x) = 13x3-x2+2x-5在R上为增函数. (2)因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数. ? 利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立. 一般步骤为： (1)确定函数的定义域(给定区间除外). (2)求导函数f′(x). (3)判断f′(x)的符号. (4)给出单调性结论. 方法归纳 【例3】求函数????=????2?2????+4的单调区间. ? 解：根据题意有????′= 2?????2， 令????′ >0，可得2?????2>0 ，解得????>1 ， 因此，函数在区间[1,+∞)上是增函数； 令????′ <0?，可得2?????2<0，解得????<1 ， 因此，函数在区间(?∞,1]上是减函数； 综上可知，函数的单调递减区间为(?∞,1]?，单调递增区间为[1,+∞). ? 此题还可以用导数为0的点来划分函数的单调区间. 令????′=0，解得????=1， ????<1时，????′<0，函数单调递减； ????>1时，????′>0，函数单调递增； 综上可知，函数的单调递减区间为(?∞,1]?， 单调递增区间为[1,+∞). ? 0 1 ????=????2?2????+4 ? ????′=2?????2 ? 【例3】求函数????=????2?2????+4的单调区间. ? 方法归纳 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域； (2)求导函数f ′(x)； (3)解不等式f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)，并写出解集； (4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间. 【例4】讨论函数????????=????ln????+????的单调性，其中a为实常数. ? 解：根据题意，函数????(????)的定义域为(0,+∞)， 又????′????=????????+1， 令????′????>0，可得????>?????， ①当?????≤0，即????≥0时， ????′????>0恒成立，此时????(????)在(0,+∞)上 ... ...
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