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课件网) 5.1.2 复数的加法与减法 第五章 复数 法则1：设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R)， 则 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. 运算律：z1 + z2 = z2 + z1，(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3). 几何意义： O Z Z1(a,b) Z2(c,d) y x 法则2：设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R) 则 (a + bi)－(c + di) = (a-c) + (b-d)i. 几何意义： O Z1(a,b) Z2(c,d) y x 例1：（1）计算：(2-3i) + (-4 + 2i)； （2）已知 x∈R，y∈R，(xi + x) + (yi + 4) = (y-i)-(1-3xi)，求 x，y 的值； （3）已知 z1 = (3x-4y) + (y-2x)i，z2 = (-2x + y) + (x-3y)i，x，y 为实数，若 z1-z2 = 5-3i，求 |z1 + z2| 的值. 解：（1）(2-3i) + (-4 + 2i) = (2-4) + (-3 + 2)i = -2-i； （2）x + 4 + (x + y)i = (y-1) + (3x-1)i，所以x + 4 = y-1，x + y = 3x-1，解得x = 6，y = 11； （3）z1-z2 = [(3x-4y) + (y-2x)i]-[(-2x + y) + (x-3y)i] = [(3x-4y)-(-2x + y)] + [(y-2x)-(x-3y)]i = (5x-5y) + (-3x + 4y)i = 5-3i， 所以5x-5y = 5，-3x + 4y = -3，解得x = 1，y = 0. 所以z1 = 3-2i，z2 = -2 + i，则z1 + z2 = 1-i，所以|z1 + z2| = . 例2：(1) 设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么（ ） A.z1 + z2 + z3 = 0 B.z1-z2-z3 = 0 C.z1-z2 + z3 = 0 D.z1 + z2 - z3 = 0 (2) 在复平面内，若，对应的复数分别为 7 + i，3-2i，|| = _____. 解： (1) 因为 + = ，所以z1 + z2 = z3，即z1 + z2 - z3 = 0. (2) || = || = |-4-3i| = = 5. D 5 例3 如图，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示0，3 + 2i，-2 + 4i. 求：（1）表示的复数；（2）表示的复数；（3）表示的复数. 解：（1）因为 = -，所以表示的复数为-3-2i. （2）因为 = - ， 所以表示的复数为 (3 + 2i)-(-2 + 4i) = 5-2i. （3）因为 = + ， 所以表示的复数为(3 + 2i) + (-2 + 4i) = 1 + 6i. 例4：根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点 Z1(x1, y1)，Z2(x2, y2)之间的距离. 解：因为复平面内的两点Z1(x1, y1)，Z2(x2, y2) 对应的复数分别为 z1 = x1 + y1i，z2 = x2 + y2i， 所以点Z1，Z2之间的距离为 |Z1Z2| = || = |z2-z1| = |(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| = | (x2-x1) + (y2-y1)i | = . O Z2 Z1 y x 例5： (1) 如果复数 z 满足 |z + i| + |z-i| = 2，求 |z + i + 1| 的最小值； (2) 若复数 z 满足 |z + + i| ≤ 1，求 |z| 的最大值和最小值. 解：（1）设复数-i，i，-1-i 在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3， 因为 |z + i| + |z-i| = 2，|Z1Z2| = 2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 因为 |Z1Z3| = 1，所以 |z + i + 1|min = 1. （2）满足 |z + + i| ≤ 1 的条件的点落在以 (-，-1) 为圆心， 半径为 1 的圆及内部，则 |z| 的最值即为求满足条件的点到原点的距离的最值. 如图所示，|| = = 2， 所以|z|max = 2 + 1 = 3，|z|min = 2-1 = 1. 1. △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足 |z-z1| = |z-z2| = |z-z3|，则 z 对应的点是 △ABC 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解：设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由 △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，及|z-z1| = |z-z2| = |z-z3|，可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点 Z 即为 △ABC 的外心. A 2. 在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2 + i，-1 + 2i. (1)求向量，，对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积. 解：(1) 对应的复数为2 + i-1 = 1 + i， 对应的复数为-1 + 2i-1 = -2 + 2i，对应的复数为-1 + 2i-(2 + i) = -3 + i. ... ...
