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课件网) 第6章 立体几何初步 3.2 刻画空间点线面位置关系的公理 第二课时 异面直线 D1 D A B C A1 B1 C1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥AB，AB∥A1B1，DC与A1B1平行吗？ 还能举出其它类似的例子吗？ 你能得到什么样的结论？ 平行线的传递性 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都 互相平行，这就给出了判断 空间两条直线平行的依据. l3 l1 l2 空间中直线与直线的位置关系 D1 D A B C A1 B1 C1 观察右图，在此长方体中，哪些直线是平行的？哪些直线是相交的？除了平行和相交这两种关系之外，还有没有其它的位置关系？ 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间中直线与直线的位置关系 α b a α β b a 异面直线的作法 空间中的等角定理 观察右图， 空间中两角的两边分别对应平行， 这两个角是什么关系？ 空间中的等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补. ∠BAC=∠B'A'C' A B C D A' B' C' D' E ∠EAC+∠B'A'C' =180° 异面直线所成的角 如图，a和b为两条异面直线，如何刻画这二者之间的相对位置关系呢？ 已知两条异面直线a，b， 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 我们把a′与b′所成的不大于90°的角 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线所成的角 (1)a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定， 与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条直线上； (2)两条异面直线所成的角的范围是0°<θ≤90°； (3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. 异面直线所成的角 题型一：空间中两直线平行的判定及应用 例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点， G，H分别是BC，CD边上的点，且. 求证：四边形GHFE是梯形. 证明:∵E，F分别是AB，AD边上的中点， ∴EF∥BD，且EF=BD， ∵G，H分别是BC，CD边上的点，且， ∴HG∥BD，且HG=BD， ∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形GHFE是梯形. 题型二：等角定理的应用 例2 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点. 求证：∠NMP=∠BA1D. 证明:如图，连接CB1，CD1， ∵CD∥A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形， ∴A1D∥B1C. ∵M，N分别是CC1，B1C1的中点， ∴MN∥B1C，∴MN∥A1D. ∵BC∥A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1. D1 A B C D A1 B1 C1 P M N ∵M，P分别是CC1，C1D1的中点， ∴MP∥CD1，∴MP∥A1B， ∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反， ∴∠NMP=∠BA1D. D1 A B C D A1 B1 C1 P M N 题型三：空间中直线平行关系的综合应用 例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1， E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点. 求证：E，F，G，H四点共面. 证明:如图，连接AC. 因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC. 因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC. 所以EF∥GH. 所以E，F，G，H四点共面. A B C D A1 B1 C1 D1 E G F H 例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由. 解:连接BM并延长，交DA于点E，连接PE， 则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l， 因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC， 所以△AEM∽△CBM，所以, 因为点M，N分别在AC，PB上， 且AM=MC，BN=BP，所以，则, 所以MN∥PE，即直线l∥MN. D N M P A B C E 题型四：异面直线的判断 例5 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体 ... ...
