6.3.2 刻画空间点线面位置关系的公理第一课时三个基本事实 课件（共18张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第二册

(课件网) 第6章 立体几何初步 3.2 刻画空间点线面位置关系的公理 第一课时 三个基本事实 生活中很多物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.数学中的平面具有什么样的性质呢？ 平面的基本性质 观察左侧两图，可得什么结论？ 基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 有且只有一个平面 α A B C A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 平面的基本性质 温度计中的玻璃管被两个卡子 固定在刻度盘上， 玻璃管就落在了刻度盘上． 观察左图，可得什么结论？ 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内. A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 平面的基本性质 推论1 推论2 推论3 经过一条直线 和这条直线外的一点， 有且只有一个平面. 经过两条平行直线， 有且只有一个平面. 经过两条相交直线， 有且只有一个平面. l A α a b α b a α P 确定一个平面的方法 平面的基本性质 B 三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面和课桌面所在平面是否只相交于一点B？ 可得什么结论？ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P∈α，P∈β α∩β=l，且P∈l 题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 例1 (1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为 A.P∈a，a α B.P a，a α C.P a，a∈α D.P∈a，a∈α 解:“∈”表示点在线上以及点在面内， “ ”表示线在面内，故选A. 例2　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； 解:用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 解:用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图. 题型二：点、线共面问题 例2　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α. 证明 因为PQ∥a， 所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β. 因为P∈b，b α， 所以P∈α. 又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α. 例3 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内. 解:已知：如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明 方法一 因为l1∩l2=A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B，所以B∈l2. 又因为l2 α，所以B∈α. 同理可证C∈α. 又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二 因为l1∩l2=A，所以l1、l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B，所以l2、l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2 α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2 β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内， 又在平面β内. 所以平面α和β重合， 即直线l1，l2，l3在同一平面内. 题型三：证明点共线、线共点问题 例4 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA 上的点，且直线EH与直线FG交于点O. 求证：B，D，O三点共线. 证明 因为E∈AB，H∈AD， 所以E∈平面ABD，H∈平面ABD.所以EH 平面ABD. 因为EH∩FG=O，所以O∈平面ABD. 同理O∈平面BCD，即O为面ABD与面BCD的公共点， 所以O∈BD，即B，D，O三点共线. 例5　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC， 且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点. 证明　∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB与CD必交于一点， 设AB交CD于M. 则M∈AB，M∈CD， 又∵AB α，CD β， ∴M∈α，M∈β， 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， ∴AB，CD，l共点. 1.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为 A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈ ... ...