4.1 同角三角函数的基本关系 课件(共13张PPT)2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第二册

(课件网) 4.1 同角三角函数的基本关系 第四章 三角恒等变换 提示：利用三角函数定义证明. 已知：对于同一个锐角α，存在关系式：sin2α + cos2α = 1，=tan . 思考：当角 α 推广到任意角后，关系式是否仍成立？ 探究点 1：同角三角函数的基本关系———平方关系 设点 P(x，y) 是角 α 的终边与单位圆的交点，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 B. 在直角三角形 PBO 中，OB 2 + BP 2 = 1， 即 sin2α + cos2α = 1. O x y P (x，y) B A (1，0) 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α 的正切. 根据三角函数的定义，当 时，有 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 商数关系 平方关系 变形 变形 题型一：利用同角三角函数关系式求值 例1：已知 ，且 α 是第三象限角，求 sin α ，cos α 的值. 又 ② 解： 由 ，得 ① 由①②得 ，即 又 α 是第三象限角，所以 技巧归纳：已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要合理选择公式，一般是先选用平方关系，再用商数关系. 注意“1”的代换，如“1 = sin2α + cos2α”. 题型二： 三角函数式的化简 例2：若 ，化简： . 提示：先化简根式，化切为弦，然后通分，再去掉根号. 解： 化简过程中常用的方法有： 1. 化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的； 2. 对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 练习：求证： . 证明：方法一 方法二： 例3：若 ，且 A 是三角形的一个内角，求 的值. 解：因为 ，所以 A 为锐角或钝角， 当 A 为锐角时， ，所以原式 = 6； 当 A 为钝角时， ，所以原式= 易错警示：疏漏讨论三角函数值的符号而导致错误. 由 说明 A 是锐角或钝角，那么 cosA 就有正、负之分，常见解法中忽视开放的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误. 使用开方关系 和 时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是角 α 所在的象限，如果角 α 所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角 α 所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论. 题型三：利用 与 的关系解题. 例4：已知 0 < α < π， ，求 tan α 的值. 解：由 得 ， 解得 ， ，所以 . 又 0 < α < π，∴ sin α > 0，cos α < 0，sin α - cos α > 0， 解题技巧： （1）sin α + cos α，sin α·cos α，sin α - cos α 三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”；关系：(sin α - cos α) = 1 + 2 sin α·cos α； （2）求 sin α + cos α 或sin α-cos α的值，要注意判断它们的符号. 1.同角三角函数的基本关系： （1）“同角”的概念与角的表达形式无关； （2）公式都必须在定义域允许的范围内成立； 2.对于同一个角 α，可以利用基本关系式“知一求二” （1）先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值； （2）若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值； （3）若已知正切，则可构造方程组求值. ... ...