2025年中考数学复习专题训练：二次函数中平行四边形的存在性问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考数学复习专题训练：二次函数中平行四边形的存在性问题 1．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由． 2．【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，． (1)判断点是否在轴上，并说明理由； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 7．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”． (1)如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是_____； (2)若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则_____； (3)如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，． ①求的值； ②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 8．如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2 ... ...