第 6讲 邻比对补模型 模块1 本 质 原 理 见表6.1. 表6.1 已 知 图 示 结 论 α+β=180° AB=AC 对于左图的变化，我们不难发现，其原理依旧遵循着“等线段，共顶点，用旋转”，通过旋转得到了等腰△BDD' α+β=180° BC=2AB 左图的图形变换和上图的变换就不一样了，虽然依旧满足对角互补，但是没有了等线段，出现了成比例的线段ABC= 我们依然可以通过旋转转移边和角，此时△BCD∽△BAD', 相似 比 为 2 : 1,BD:BD'=2:1,通过旋转得到了两边比例固定的△BDD' 本质原理 全等形，符合“等线段，共顶点，用旋转”；相似形，符合“比线段，共顶点，用旋转” 实例剖析 如图6.1 所示,在四边形 ABCD 中,∠A +∠C =180°,且∠ABC=60°,AD=CD,则BA,BC,BD 三者关系为 . 【答案】 【分析】 解法 1 旋转法. 如图6.2所示,因为∠A+∠C=180°,AD=CD,旋转△ABD使AD 和CD重合,所以△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，易证 故 解法 2双垂线法. 如图6.3所示,因为∠A+∠C=180°,所以A,B,C,D 四点共圆,又 AD=CD,则∠ABD=∠CBD=30°.过点 D 作DN⊥AB,DM⊥BM,易证△DAN≌△DCM,则 BC+AB 故 特别地，对角互补意味着“四点共圆”，正如解法2所推理，其原理可以直接运用，具体请见第3讲“辅助圆的妙用”. 模块2 场景演练 模型的识别：角分双垂型 1. 如图6.4所示,已知∠DCE=∠AOB=90°,OC平分∠AOB. ①求证:CD=CE; ② 探究线段 OD,OE,OC 的数量关系. 2.如图6.5所示，边长为4的正方形 ABCD 对角线交点为O，另一个边长为4的正方形 OEFG 绕着点O 旋转一周.设这两个正方形的重叠部分的面积为S，易证S为定值，则定值 S为 . 3.如图6.6所示,正方形 ABCD 的边长为4,它的对角线 AC上有一点O,且AO:OC ，另一个边长为4的正方形 OEFG 绕着点O 旋转一周，设这两个正方形的重叠部分的面积为S，则S的最值为 . 4. 已知∠AOB=120°,∠DCE=60°,OC 平分∠AOB. (1) 如图6.7所示,求证: 线段OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由. (2)如图6.8所示,求证:( ；线段 OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由. (3)如图6.9所示,求证:( 线段OD，OE，OC 有什么数量关系 说明理由. 中小学教育资源及组卷应用平台 模型的识别：对补旋转型 5. 如图6.10 所示,在四边形 ABCD 中, 则 6. 如图6.11所示,正方形 ABCD 顶点A 的坐标为(0,2),点 B 在x轴上,对角线 AC,BD 交于点M, 则点 C 的坐标为 . 7.如图6.12所示，一块空地由三条直路(线段AD，AB，BC)和一条劣弧道路 围成.已知 ，P，C，M，D四点在半径为1的圆周上(圆心为点O).市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点 M处，另外三个入口分别在点 C，D,P 处,其中点 P 在 上，并在公园中修四条慢跑道，即图6.12中的线段 DM，MC，CP，PD.请设计一种规划方案，使得四条慢跑道总长度最大，其最大值为 km. 模型的识别：相似型 8. 如图6.13 所示,在矩形 ABCD 中, ,点 E 在对角线AC 上,连接 BE,作 ,垂足为点 E,直线 EF 交线段DC 于点 F,则 9. 如图6.14 所示,在 中， 在 中， 点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当 时,AP= 10. 如图6.15所示,在 Rt△ABC 中,. P 是边AC 的中点,点 M,N分别是边 AB，BC 上一点，且 连接 MN,则 11. 如图6.16所示,在等腰 中， 将 沿DE 翻折,点 A 恰好落在BC上的三等分点P 处，若 则 模型的识别：利用四点共圆 12.如图6.17所示,在正方形 ABCD 中,E 是对角线BD 上一点,连接 AE,过点 E 作 ,交直线 CB 于点F.若点 F 在线段BC上,则 EA 与EF 的数量关系为 . 13.如图6.18所示，在矩形 ABCD 中，点 P 为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD,过点 P 作 ,交直线 AB 于点E, 则 模型的综合应用：遇见中考 14. (2022·深圳)如图6.19所示,已知 为直角三角形， BC 为圆O的切线，C为切点， 则 和 面积之比为 . 15.已知四边形 ABDC 内接于⊙O ... ...
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