第1讲 中点的联想 (含答案)2025年中考数学几何模型方法巩固练习

第1讲 中点的联想 模块1 本 质 原 理 提到中点，在整个初中的概念中有：三角形中线、斜边中线、中位线、中垂线、圆中弦、倍长中线、中点坐标公式等；如果具体到应用场景里面，实际上只有5类：等腰三角形中，三线合一；直角三角形中，斜边中线；双中点，中位线；转移边角，倍长中线；计算辅助，中点坐标公式. 下面让我们一个一个来看(表1.1). 表1.1 类 型 图 示 三线合一 斜边中线 中位线 中小学教育资源及组卷应用平台 续表 类 型 图 示 倍长中线 中点坐标公式 已知 A(x ,y ),B(x ,y ), 则中点c(x +2x ,y +y ) 模块2 场景演练 模型的识别：三线合一 表1.2 已 知 辅助线图示 核心结论 AB= AC ① DC=DB,AD⊥BC,∠CAD=∠BAD;② AB=AC,DC= DB,AD⊥BC,∠CAD=∠BAD，以上四个条件：知二推二.(尝试自己推导下) 1. 如图1.1所示,在△ABC 中,AB=AC,D,E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若 BE=6cm,DE=2cm,则 BC= cm. 2. 如图1.2所示,在△ABC中,AB=AC,点 D,E,F分别在BC,AB,AC上,且BD=CF,BE=CD,G 是EF 的中点.求证:DG⊥EF. 3. 如图1.3所示,已知等边△ABC的边长为4,延长 BC 至点D,E在AB 上,使 AE=CD,连接 DE,交AC 于点F,过E 作EG⊥AC 于点G,则( 4. 如图1.4所示,在 中， ,延长 BC 到点D,延长 BA 到点E,使 BD,连接CE,DE,使 .求证：△ABC 是等边三角形. 模型的识别：斜边中线 见表1.3. 表1.3 已 知 辅助线图示 核心结论 ∠BAC=90°,DB=DC ① DA=DB=DC; ②∠ADC=2∠B,∠ADB=2∠C; ③ A,B,C 共圆,以点 D为圆心 ∠BAC=∠BDC=90°, MB= MC ① A,B,C,D 四点共圆; ② 由①可得∠AMD =2∠ABD(圆周角定理) 5. 如图1.5(a)所示,在锐角△ABC 中,CD,BE 分别是AB,AC 边上的高,M,N分别是线段BC,DE 的中点. (1) 求证:MN⊥DE. (2) 连接 DM,ME. ① 猜想∠DME 与∠ABE 之间的关系: ; ② 猜想∠BAC 与∠DME 之间的关系: . (3)当∠BAC变为钝角时，如图1.5(b)所示，上述(1)(2)中的结论是否都成立 若成立，不用证明；若不成立，说明理由. 模型的识别：中位线 见表1.4. 表1.4 已 知 辅助线图示 核心结论 DA=DB,EA=EC ① DE 为△ABC 的中位线; ② DE∥CB,且DE= BC EF,GE,GF 是△ABC的三条中位线 ①△AEG≌△EBF≌△GFC≌△FGE; ② S□AEFG = S□EBFG =S□EFCG; ③ C△BFG= C△ABC,S△EFG= S△ABC 在四边形 ABCD 中,AB=CD,点 E,F 分别为AD,BC 的中点 结论：△EFG 为等腰三角形. 证明:连接 BD,取 BD 的中点G,连接 EF,EG,GF,所以EG = AB,GF= CD,I即GE= GF,故△EFG 为等腰三角形 辅助线图示 核心结论 点 E,F,G,H 分别为四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点 结论：四边形 EFGH 为平行四边形. 证明:连接AC,BD,由题意得 EF∥AC,EF= AC,GH∥AC,GH= AC,所以 EF ∥GH,EF = GH,故四边形 EFGH 为平行四边形 类型1：中位线的性质 6.如图1.6所示,在四边形 ABCD 中,点 P 是对角线BD 的中点,点 E,F分别是AB,CD 的中点,AD=BC,∠CBD=30°,∠ADB=100°,则 7. 如图1.7所示,点 D 是 内一点， 点E,F,G,H 分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形 EFGH 的周长是 . 8. 如图1.8所示,在四边形 ABCD 中, 点M，N分别为线段BC,AB 上的动点(含端点,但点 M 不与点B 重合),点 E,F分别为DM,MN 的中点,则 EF长度的最大值为 . 9. 如图1.9所示,点 E,F,G,H 分别为四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点. (1) 对角线 AC 与DB 满足 时,四边形 EFGH 是菱形. (2) 对角线 AC与DB 满足 时,四边形 EFGH 是矩形. (3)对角线 AC 与DB 满足 时,四边形 EFGH 是正方形. 类型2：中位线的构造 10. 如图1.10所示,在 中， D 是边AB 的中点,E 是边BC上一点.若DE 平分 的周长，则DE 的长是 . 11. 如图1.11所示,在 中， 点 E,F 分别在CA,CB 上,且 点 M,N 分别为AF,BE 的中点,则 MN 的长为 . 12.(1)如图1.12(a)所示,在四边形 ABCD ... ...