第 16 讲 定值问题 模块1 本质原理 1.代数定值 多变量中，消元导致系数为零，进而带动产生一系列的定值. 2.几何定值 位置不变、几何量不变、数量关系不变，具体见表11.1. 表11.1 几何定值分类 求解工具 角为定值 ① 利用三角形的性质及定理倒角； ② 利用平行线的性质倒角； ③ 利用圆的性质及定理倒角 边为定值 ①利用特殊三角形(等腰三角形、等边三角形)的性质； ② 利用特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的性质； ③ 利用圆的性质及定理； ④ 利用特殊角的三角函数 线段和或差为定值 (或和差关系式) ① 利用等面积法； ② 利用截长补短法 线段乘积或比值为定值 (常见于函数中) ① 构造相似法； ② 含参计算法 面积为定值 (常见于函数中) ① 定义法(s△= 底×高，,S梯形= ×(上底+下底)×高); ② 割补法(利用“水平宽、铅垂高”)； ③ 等积变形法(平行线内的同底等高) 模块2 场景演练 模型的识别：代数中的定值 1.若一次函数 y=2mx+m+3的图像经过一个定点，则这个定点的坐标为 . 变式①：不论 k 取什么样的实数，直线. 总经过一定点，则这个定点的坐标为 . 变式②：已知二次函数 当 m 取不同的值时，抛物线都会经过一个定点，此定点的坐标为 . 模型的识别：几何中的定值 类型1：角为定值 2. 如图11.1所示,菱形 ABCD 的边长为1, 点 E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线分别交BD，CE 于点F，G. (1)求证: (2)当点 E 在AB上运动时,∠CEF 的大小不变,其度数为 . 3. 如图11.2所示,函数 的图像上有一点P(a，b)，由点 P分别向x轴、y轴作垂线 PM,PN,垂足为点 M,N,直线 AB: 分别交PM,PN于点E,F,则 与 的关系为 ；∠EOF =_. 4.如图11.3所示，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P是 S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置， 是一定角. 类型2：边为定值 5.如图11.4所示，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图像相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为点E,F,连接CF,DE,EF.有下列四个结论: 与 的面积相等； 其中不正确的结论是 . 类型3：线段和或差为定值(或和差关系式) 6. 如图11.5所示,在 中， 点 P 为边 BC 上任一点,过点 P 作 AB,PE⊥AC,垂足分别为点 D,E,过点 C 作 ，垂足为点 F.求证： 变式①：如图11.6所示，当点 P 在BC 延长线上时，题6中其余条件不变.求证： 变式②:如图11.7所示,在矩形 ABCD 中, 点 P 是AD 上一点,过点 P作 ，垂足分别为点E，F，则. 变式③:如图11.8所示,将矩形 ABCD 沿EF 折叠,使点 D 落在点B 上,点C 落在点( 处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点 P 作 垂足分别为点 G，H.若AD 则 变式④：如图11.9所示，两条直线 分别是函数 和 的图像， 与x轴的交点分别为A，B.若 上的一点 M 到 的距离是1，则点M 的坐标为 7.设正 n边形的边长为a，面积为 S. (1)试探究等边三角形内部任一点 P 到三边的距离之和 是否为定值.如果不是，请说明理由；如果是，请证明. (2)请进一步探究正四边形、正五边形……正n 边形内任意一点到各边的距离之和是否为定值.对此，你能获得什么规律 变式：如图11.10所示，等边 外一点P 到三边的距离分别为 且 其中 则 的面积= . 8.如图11.11 所示，已知 P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧 上任意一点，则 9. 如图11.12所示,已知矩形 AEFG 和矩形ABCD,将矩形 AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转， 连接DE，BG，在旋转过程中， 的值是定值，此定值为 . 中小学教育资源及组卷应用平台 10. 如图11.13 所示,抛物线 交x轴于A，B 两点，与 y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为 D，过点 D 作直线 轴交x轴于点E，点P 是抛物线上B，D两点间的一个动点(点 P 不与B，D 两点重合)，直线 PA，PB 与直线DE 分别交于点F ... ...
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