第4讲 手拉手模型 模块1 本 质 原 理 观察图4.1，已知 ,A,E拉手,B,D 拉手(即连接AE,BD),则 ，此模型称为手拉手模型，这也是手拉手模型的雏形. 特别地，当 ,且 B,C,D 三点共线时,如图4.2所示,连接 AD,BE,则 我们再连接 AB，DE，如图4.3所示，我们就可以证明出如下5组常用结论： 说明： 中小学教育资源及组卷应用平台 结论3：三组平行线(如图4.6所示)，即 结论4：三个特殊60°(如图4.7所示)，即 【分析】 如图4.7所示,由△ACD≌△BCE,可得∠HAF=∠CBF,易得在△AFH 和△BCF中,∠1=∠FCB=60°. 如图4.8所示,由△ACD≌△BCE,得到对应边 AD,BE 边上的高相等,即 CM=CN.又CH=CH,则△CHN≌△CHM(HL),因此∠2=∠3,故CH平分∠BHD. 结论5：三个和差式(如图4.9所示). 【分析】 邻边相等的对角互补模型，将△DEH 绕着点D 逆时针旋转60°,H的对应点为H',得到等边△DHH',进而 HD=HE+HC,同法可证 HB=HA+HC 和HC=HF+HG,具体详见第6讲“邻比对补模型”. 总结:三点共线(B,C,D),五“三”出现. 通过以上的推导，我们发现，手拉手模型本质上就是旋转型的全等，进而产生了五个“三”结论. 那图形旋转的本质又是什么呢 接下来我们来探究下. 我们先区分两个情景： 情景 1 在图形旋转的过程中，我们不改变其大小，也就是全等形. 如图4.10所示,△ABC 绕着点C顺时针旋转到△A'DC,使得 CB 与CD 重合,此时就产生了新的特殊图形“等腰△ACA′”； 如图4.11所示,△ABP 绕着点B 顺时针旋转60°到△CBP',使得 AB 与BC 重合,此时就产生了新的特殊图形“等边△BPP'”. 通过上面两组图形的变换，我们发现图形等量旋转的本质就是：全等形手拉手模型的构造，其变换特征为等线段、共端点、用旋转. 实例剖析 如图4.12所示,P 是正方形ABCD 内一点,连接PA,PB,PC.现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P'CB,连接 PP'.若PA= ,PB=3,∠APB=135°,则 PC 的长为 ,正方形 ABCD 的边长为 . (2)如图4.13 所示,若点 P 是等边△ABC 内的一点,且 PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB= . (3)如图4.14所示,在四边形 ABCD 中,AD=3,CD=2,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则 BD= . 【解题要点】 利用“等线段、共端点、用旋转”，大胆旋转是解题的关键，要注意只旋转和等边相关的三角形，如图4.13所示，就有6种转法，A，B，C均可以作为“共端点”，如果以 B为共顶点，则△ABP 和△BCP 均可旋转，目的只有一个，就是使等边重合，即AB，BC重合. 【答案】 【分析】 (1) 由. 知△BPP'为等腰直角三角形,又∠BP'C =∠APB=135°,所以. 故 在 Rt△PP'C 中, 过点 A 作AE⊥BP 交 BP 的延长线于点E,在 Rt△AEB 中,由勾股定理得 AB = (2) 如图4.15 所示,将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BP'A,连接 PP',易得△BPP'是等边三角形，则. 在△APP'中,. 则 故 (3)等线段(AB=AC),共端点(点 A),用旋转(可旋转△ABD或△ACD). 如图4.16所示,将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°得到△ACK,连接DK. 由旋转的性质得△ABD≌△ACK,则 AK = AD =3,CK = BD,∠KAD =90°,所以△DAK 是等腰直角三角形，则 ,故∠CDK =∠ADC + 在 Rt△CDK 中,( 则 情 景 2 在图形旋转的过程中，我们改变其大小，将其进行缩放，也就是相似形. 如图4.17所示，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，得到△AB'C'，其中相似比为. 则 即 又 ,连接 BB',CC',如图4.18所示,可得△BAB'∽△CAC'. 由此我们可以得到，只要三角形产生了旋转，就会有两组相似三角形产生，记忆口诀就是：一转成双. 我们发现图形等量旋转的本质就是：相似形手拉手模型的构造，其变换特征为比线段、共端点、用旋转. 实例剖析 【问题背景】 如图4.19所示,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE. 【尝试应用】 如图4.20所示,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE 相交于点F,点 D ... ...
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