5.2 矩形、菱形与正方形 第3课时 正方形 一、与正方形有关的推理及计算 1．（2023安徽中考第8题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022安徽中考第14题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 3. （2024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则_____（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为_____． 参考答案与解析 一、与正方形有关的推理及计算 1．（2023安徽中考第8题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 2．（2022安徽中考第14题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 【答案】 45 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG，∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD, ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，∴AE=DG=FG，∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°，∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG，∴四边形DGFH是正方形，∴DH=FH=DG=2， ∴, ∴，∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P，∵∠MDP=∠DMP=45°，∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2，∴DP=MP=，∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°，∴△MPF∽△NHF, ∴，即，∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 3. （2024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则_____（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴< ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页5.2 矩形、菱形与正方形 第1课时 矩形 一、与矩形有关的推理及计算 1．（2017安徽中考第10题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=S矩形ABCD..则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ） A． B． C．5 D． 2．（2018安徽中考第14题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DB ... ...
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