6.1 圆的基本概念与性质 一、垂径定理及其推论 1．（2022安徽中考第7题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A． B．4 C． D．5 2．（2023安徽中考第20题）已知四边形内接于，对角线是的直径． (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 3．（2021安徽中考第20题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 4．（2018安徽中考第20题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 5．（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 二、圆周角定理及其推论 6．（2021安徽中考第13题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则 ． 7. （2024安徽中考第20题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 三、与圆的基本性质相关的最值问题 8．（2016安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 9．（2015安徽中考第20题）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 参考答案与解析 一、垂径定理及其推论 1．（2022安徽中考第7题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 2．（2023安徽中考第20题）已知四边形内接于，对角线是的直径． (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 3．（2021安徽中考第20题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【详解】（1）解：连接OC， ∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线 ∴，平分CD， . ,． 在中, ∴圆O的半径为 （2）证明：连接AC，延长AF交BD于G． ，,. 又,. ,, 在中 4．（2018安徽中考第20题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 【答案】（1）画图见解析；（2）CE= 【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线； （2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2， 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==． 5．（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌 ... ...
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