2025届山东省临沂市蒙阴第一中学第五次模拟测试数学试题（含答案）

2025届山东省蒙阴第一中学第五次模拟测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在共小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A．2 B． C． D．3 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A．6 B．9 C．27 D．81 6．双曲线（，）的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，真命题的是（ ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120 10．若函数有极值，则的可能取值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．已知直线及圆，则（ ） A．直线过定点 B．直线截圆所得弦长最小值为2 C．存在，使得直线与圆相切 D．存在，使得圆关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和为（），满足（），，则 . 13．的展开式中的系数为 （用数字作答） 14．如图，直线AB在平面内，点C在平面外，直线AB与AC的夹角为，直线AC与平面所成的角为交．若平面ABC与平面所成角的大小为，且，则的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列的首项且满足． (1)证明：是等比数列； (2)数列满足，，记，求数列的前n项和． 16．如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的正弦值． 17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示. 表1 10 20 30 40 50 50 65 70 95 120 (1)已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在的消费者分别有轮次的抽奖机会. 已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望. 表2 消费金额 人数 6 22 25 35 8 4 表3 “幸运顾客”卡片数 3 2 其他情况 奖励金额（单位：元） 30 20 0 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为. 18．已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. (1)求实数的值； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 19．设分别为椭圆的左 右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心. （i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离； （ii）求点到直线的距离的最大值. 2025届山东省蒙阴第一中学第五次模拟测试数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A ... ...