专题14 锐角三角函数 课标要求 考点 考向 认识直角三角形的边角关系；掌握特殊角度的三角函数值； 在直角三角形中，若已知两边或一边一角，会运用解直角三角形的知识求其余的边和角； 会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题； 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决生活中的实际问题。 锐角三角函数 考向一 已知三角函数值求边长 考向二 求角的三角函数值 考向三 解直角三角形的计算 考向四 特殊角三角函数混合运算 考向五 解直角三角形的应用 考点 锐角三角函数 考向一 已知三角函数值求边长 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 考向二 求角的三角函数值 1．如图，在中，，以斜边为边向下方作正方形，连结，作于点F，于点E，于点N，交于点M，若正方形与四边形的面积比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】证明四边形是矩形，证明，则，同理，可求，证明四边形是正方形，设，则，依题意得，，可得，由勾股定理得，，即，可求得，如图，记交点为，作于，则，，可得，则，设，则，证明，则，即，可求，证明，则，即，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， 依题意得，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， 如图，记交点为，作于， ∴， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题 ... ...
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