中小学教育资源及组卷应用平台 费马点最值模型 费马点定义 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。 若给定△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 费马点的结论及证明 【结论】1、费马点到三角形三个顶点距离之和最短 2、费马点连接三顶点所成夹角皆为： 【证明】: 如图一, 在△ABC 内任取一点P , 连接PA、PB、PC 如图二, 将△APB 绕点B旋转60°得到△EQB,则 连接PA , ∵∠PBQ=60°, PB=PQ, ∴△QPB是等边三角形, 则PB=QP=BQ,∠1=∠2=60°. ∴PA+PB+PC=EQ+QP+PC≥EC。 如图三，当且仅当E、Q、P、C四点共线时取等号，此时 取到最小值EC. ∴点P是△ABC的费马点，且点P到三角形三个顶点的距离之和最小 真题精炼 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” ，该问题也被称为“将军巡营”问题. (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1, 将△APC绕 , 点C顺时针旋转60°得到△A'P'C, 连接PP', 由 , 可知△PCP'为 ① 三角形, 故 又 故 由 ② 可知,当B, P ,P', A在同一条直线上时, PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B, 此时的P点为该三角形的“费马点” , 且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ; 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点 .如图3，若∠BAC≥120°, 则该三角形的“费马点”为 ④ 点. (2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3 , BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点” , 求PA+PB+PC的值; (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知. 现欲建一中转站P沿直线向A ，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km, a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元.(结果用含a的式子表示) 2.如图,在△ABC中,. 若点P是△ABC内一点，则 PA+PB+PC的最小值为 3.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若 ，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 . 4.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果 是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足 .例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点.若. , P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= ;若AB=2 ,BC=2,AC=4, P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= . 5.请回答下列各题： (1)问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到 DE与BC交于点P可推出结论： (2)问题解决：如图2，在 中， 点O是 内一点，则点O到 三个顶点的距离和的最小值是 . 6.已知点P是 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 的费马点(Fermatpoint) , 已经证明:在三个内角均小于 的 中，当 时，P就是 的费马点 ，若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则 7如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB= AC,点D是BC边上一动点, 连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°, 得到AE, 连接CE , DE . 点F是DE的中点, 连接CF (1) 求证: (2)如图2所示，在点D运动过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论. (3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值 ... ...
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