陕西省西安高新第一中学2025届高三下学期4月模拟数学试卷（含答案）

陕西省西安高新第一中学2025届高三下学期4月模拟 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 3.在中，若动点满足向量平行于向量，则的轨迹过的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4.已知直线与曲线相切，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，则( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆，直线：，，点在上，过作平行于交于点，作平行于交于点，若的长度为定值，则的离心率为( ) A. B. C. D. 7.正四棱台上底面边长为，下底面边长为，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为( ) A. B. C. D. 8.盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，矩形中，，，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则( ) A. B. 存在，使平面 C. 存在，使平面 D. 四棱锥体积的最大值为 10.平面上到两个定点距离之积是常数的点的轨迹称为双纽线，已知双纽线的方程，则( ) A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 的图形包含在单位圆内 D. 的图形介于直线与之间 11.设，则下列四个选项中，是“”成立的充分必要条件的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.从中挑出个不同的数字组成五位数，其中有个数字各用次，则能得到的不同的五位数的个数为 ． 13.已知点，的方程为，，为上的动点，满足，则中点的轨迹方程为 ． 14.如果一个正整数等于它所有真因子之和，那么称这个正整数为完全数，例如，是完全数，若是完全数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，，． 求； 求的内切圆面积． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 Ⅰ证明：． Ⅱ若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 17.本小题分 已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为． 求直线的斜率； 若，，求面积的最大值． 18.本小题分 设，函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 求的单调区间． 19.本小题分 由个不同的实数，，，构成一个数表，若中每行个数之和、每列个数之和、两条对角线个数之和均相等，则称为一个阶幻方，这个和称为幻和例如就是一个阶幻方，幻和为． 设是一个阶幻方，证明： ； 是，，，的中位数； 将正整数，，，填入数表中构成一个幻方， 证明：是偶数； 求的概率； 若，，，的某种排列，，，满足：，，；，，；，，构成个公差相等的等差数列，且，则称，，，满足性质证明：是一个阶幻方当且仅当，，，满足性质． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为，， 所以，，又，， 所以，，又，故， 由，可得，又，， 所以或， 所以舍去或， 由可得， 所以，故， 所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以或或，又， 所以，， 由，， 所以，，故，， 又，所以， 由余弦定理可得，， 设的内切圆半径为，则 的面积， 所以， 所以， 所以的内切圆面积为． 16.Ⅰ证明：因为矩形，所以， 由底面为长方形，有，而， 所以而，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，所以平面而，所以． 又，，所以平面． 所以得证． Ⅱ解：如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 因为，设，则，，点是的中点，所以， 由，所以是平面的一个法向量； 由Ⅰ知，，所以是平面的一个法向量． 若平面与平面所成二面角的大小为， 则，解得 ... ...