2.1.2 瞬时变化率 课件（18张PPT）

2.1.2 瞬时变化率 第二章 导数及其应用 1.理解函数瞬时变化率的概念. 2.掌握函数瞬时变化率的求法． 问题1：高台跳水运动员的速度.在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度?(单位：?)与起跳后的时间????(单位：????)存在函数关系?(????)＝－4.9????2＋4.8????＋11．计算运动员在0≤????≤4849这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ ? 在????1≤????≤????2这段时间里，????=?(????2)??(????1)????2?????1=?4.9(????1+????2)+4.8. ? ∴在0≤????≤4849这段时间里，????=?4.9(0+4849)+4.8=0. ? 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是????, 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么????将越来越趋近于运动员在????0 时刻的瞬时速度. ? 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 为了求运动员在t=1时刻的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+?t， ?t是非零时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零. 当?t >0时， 1+?t在1之后，把运动员在时间段[1, 1十?t]内近似看成匀速直线运动，计算时间段[1, 1+?t]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t=1时的瞬时速度； ? 当?t <0时，1+?t在1之前，在时间段[1+?t, 1]可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格： 当△????=–?0.01时, ? 当△????=?0.01时, ? 当△????=–?0.001时, ? 当△????=0.001时, ? 当△????=?–0.0001时, ? 当△????=0.0001时, ? △?????=–?0.00001, ? △????=?0.00001, ? △????=?–?0.000001, ? △????=0.000001, ? …… …… ????????=?????.????????????+????.????????+???????? ? ????=?4.951 ? ????=?4.9951 ? ????=?4.99951 ? ????=?4.999951 ? ????=?4.9999951 ? ????=?5.049 ? ????=?5.0049 ? ????=?5.00049 ? ????=?5.000049 ? ????=?5.0000049 ? 我们发现，当?????无限趋近于0时，即无论????从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度????都无限趋近于?5. ? 事实上，由????=?(1+?????)??(1)(1+?????)?1=?4.9??????5可以发现，当?????无限趋于0时，?4.9?????也无限趋近于0，所以????无限趋近于?5.这与前面得到的结论一致. ? 从物理的角度看，当时间间隔|?????|无限趋近于0时，平均速度????就无限趋近于????=1时的瞬时速度.因此，运动员在????=1????时的瞬时速度????(1)=?5????/????. ? 对于一般的函数????＝????????，在自变量x从????0变到????1的过程中，若设Δ????＝????1?????0， Δ????＝????????1?????????0，则该函数的平均变化率为Δ????Δ????=????????1?????????0????1?????0=????????0+Δ?????????????0Δ????， 如果当Δ????趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是????????在点????0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． ? 概念讲解 思考：如果某物体在某时间段内的平均速度为0，能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0? 不能 【例1】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 变式1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 即物体的初速度为1 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 ... ...