(
课件网) 第六章 立体几何初步 6.5.2.1 平面与平面垂直的性质 1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的平面角. 2.理解两平面垂直的定义，掌握面面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题. 问题：观察教室的门与墙，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状，数学上，可用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 知识点 1：二面角 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角． α Q P l A B α 棱 面 记作二面角α-AB-β或α-l-β或P-l-Q． 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，如图中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. 思考1：∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？ 根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关． 思考2：当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？ 当二面角的两个面合成一个平面时二面角的大小为多少度？ 二面角的平面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°． 平面角是直角的二面角称为直二面角. 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β. 画两个互相垂直的平面时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 例1 如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？(精确到0.1 m) 解：如图，设DH垂直于过BC的水平面，点H为垂足，线段DH的长度就是所求的高度. 在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，连接GH. ∵DH⊥平面BCH，BC 平面BCH，∴DH⊥BC. H G 又∵DG∩DH＝D，DG，DH 平面DGH，∴BC⊥平面DGH. 例1 如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？(精确到0.1 m) 因此，∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°， 即沿直道前进100 m，升高约43.3m. 由此得DH＝DGsin 60°＝CDsin 30°sin 60°＝100sin 30°sin 60°＝ 又∵GH 平面DGH，∴GH⊥BC. H G 归纳总结 求二面角的步骤： （1）作出二面角的平面角； （2）证明该角为平面角； （3）将二面角的平面角置于一个三角形中求其大小. 知识点 2：平面与平面垂直的性质 问题1：设α⊥β，α∩β＝l，则β内任意一条直线AB与l有什么位置关系？相应地，AB与α有什么位置关系？为什么？ 解：AB与l平行或相交， 当AB∥l时，AB∥α； 当AB与l相交时，AB与α相交. α β B l A 问题2：已知α⊥β，α∩β＝l，若AB⊥l，AB与α有什么位置关系？为什么？ 解：AB⊥α，理由如下： α β l C A 设AB与l的交点为A，过点A在α内作直线AC⊥l， 则∠BAC是二面角α-l-β的平面角， B ∵α⊥β，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC， 又∵AB⊥l，AC∩l＝A，AC α，l α，∴AB⊥α. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 归纳总结 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a β a⊥α． α β a l 面面垂直 线面垂直 (线是指一个平面内垂直于两平面交线的一条直线) 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由. 解：由题意知平面B1BCC1⊥平面ABCD，交线为BC. ∵MN 平面B1BCC1，且MN⊥BC， ∴MN⊥平面ABCD. 又AB 平面ABCD，从而MN⊥AB. 归纳总结 利用面面垂 ... ...
