2024-2025学年广东省湛江市高二下学期4月期中联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列，，，，的一个通项公式为( ) A. B. C. D. 2.已知数列为等比数列，其中，，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则( ) A. B. C. D. 4.若数列满足，，则( ) A. B. C. D. 5.从，，，中任取个数字，从，，中任取个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为( ) A. B. C. D. 6.已知函数在处取得极大值，则( ) A. B. C. D. 7.某高校的一个宿舍的名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8.函数在上的零点和极值点个数之和为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.年春节档共上映部电影全国电影票房达亿元，刷新了中国影史春节档票房记录其中，哪吒之魔童闹海和唐探分居票房第一、第二的宝座小明想要观看这部电影，则( ) A. 若将哪吒之魔童闹海和唐探放在相邻次序观看，则共有种观看顺序 B. 若唐探在哪吒之魔童闹海之前观看，则共有种观看顺序 C. 若将部电影每部一组随机分为组，则共有种分组方式 D. 若将部电影随机分为组，则共有种分组方式 10.设函数，直线与曲线相切于点，则( ) A. 对于给定的，任意的，恒过定点 B. 对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点 C. 与的交点的横坐标存在最小值 D. 与的交点的纵坐标存在最大值 11.已知前两项均为的数列满足，记的前项和为，则( ) A. B. C. 和均为等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为首项和公差均为的等差数列，则满足的的最小值为 ． 13.某志愿者活动中，甲、乙、丙、丁人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种用数字表示． 14.已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需人完成，每人至少完成项工作． 共有多少种不同的情况； 求甲做工作的概率． 16.本小题分 已知为数列的前项和，，． 求的通项公式 设数列的前项和为，，，求正整数的最小值． 17.本小题分 已知函数． 当时，求在上的最值 求的单调区间． 18.本小题分 已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，． 当时，证明：是等比数列； 求的取值范围； 证明：直线的斜率随的增大而增大． 19.本小题分 设函数，． 时，求曲线在点处的切线方程 讨论的单调性 若有两个极值点，且，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：甲、乙、丙做四项工作， 每项工作只需人完成，每人至少完成项工作， 故有人做两项工作，其余人各做一项工作， 共有种情况； 甲做工作的情况有种： 甲只做工作，共有种情况； 甲做工作及中的任意一项工作， 共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 16.解：当时，， 因为， 两式相减，可得， 所以， 可得， 又因为，，，， 累乘得，所以． 由知， 可得， 所以， 所以，解得， 故的最小值为． 17.解：当时，，则， 则在上单调递减， 所以，无最小值． 易得， 若，则，所以在单调递减 若，则由得 当时，当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，的单调减区间为无单调增区间． 当时，的单调减区间为，单调增区间为 18.解：证明：由，得，又，即， ... ...
