(
课件网) 4.4 解直角三角形的应用 课时2 坡角、方位角问题 1.理解坡度、坡角、方位角等概念. 2.会应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角、方位角有关的问题. 如图， 从山脚到山顶有两条路AB与BD， 问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 坡度：如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，又叫坡比，用字母i表示，即 i=（坡度通常写成1：m的形式） 在图中，∠BAC 为坡角，记作α． 显然，坡度与坡角的关系为：坡度等于坡角的正切，即i==tanα. 可以发现，坡度越大，山坡越陡． 例1 如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m） 解：用α 表示坡角的大小， 由题意可得： tanα==0.5， 因此α ≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B =90°，∠A = 26.57°， AC =240ｍ， 因此sin α=得BC = 240 ×sin 26.57°≈107.3（ｍ）． 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． i = 1:2 用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤： （1）通过读题把已知转化为数学图形； （2）找出直角三角形和已知、未知元素； （3）选择合适的锐角三角函数求未知数； （4）解题. 例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ 北偏东是指什么角度呢？ 方位角：指北或者指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角. 如图，点A的方位角为北偏东60°. 西 东 A 南 北 · 60° 例2 如图， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ 分析：在两个直角三角形中，分别利用300 、 600角的正切，用同一个参量x表示出AD 、 BD的长，进而用方程思想求解. 解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=， ∴AD=. 同理，在Rt△BCD中，AD=. ∵AB=AD-BD，∴=40.解得x=20 又20≈34.64>30. 因此，该船能继续安全地向东航行． 1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题． 2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题． 1．如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是 海里（不作近似计算）. 2.如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点. 如果MC=n,∠CMN=α.那么P点与B点的距离为_____. 3.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ． 90° . · · D A B C M N α P · 4.光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离． （已知 ） 北 北 A B C 60° 45° 解析：过C作CD⊥AB于D点， 由题意可知AB=50×20=1000m， ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=， ... ...
