马街中学高 2023 级高二下期 期中考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A B B A D D BC AC ABD 11.【详解】对于 A，如图，取 中点 ，且连接 ， 因为 分别是棱 的中点，由中位线定理得 ， ， 所以 ，而 ， ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，所以 ，因为 ， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ，而 ， 所以面 面 ，又 是正方形 内的动点， 且 平面 ，面 和面 相交， 是交线， 所以 的轨迹为线段 ，由勾股定理得 ，故 A 错误， 对于 B，如图，若 ，此时 面 ， 所以 ，由勾股定理得 ， 答案第 1 页，共 2 页 所以 的轨迹为在面 内，以 为圆心， 为半径的 圆弧， 所以 的轨迹长度为 ，故 B 正确， 【详解】对 C：如图： 因为 ，且 ， ，所以不存在 满足 ，故 C 错误； 对于 D，如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， 因为 是棱 的中点， 分别是棱 的中点， 所以 ，由勾股定理得 ， 而 ，所以 ，所以 ， 而 ，所以点 到 的距离相等， 因为 ，由正方体性质得 面 ， 所以 面 ，所以三棱锥 的外接球的球心在 上， 设球心为 ， ，则 ，又 ， 设三棱锥 的外接球的半径为 ，则 ， 在直角三角形 中，由勾股定理得 ，在直角三角形 中， 由勾股定理得 ，解得 ， ， 答案第 1 页，共 2 页 所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 D 正确. 15．解：（1） ，由题意得 ，解得 . 此时 ， ， 当 时， ，所以 在 单调递增， 当 时， ，所以 在 单调递减， 当 时， ，所以 在 单调递增， 所以 在 时取得极大值. 所以 .（检验过程略） （2）由（1）可知， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增. 又因为 ， ， ， ， 所以函数 在区间 上的最大值为 4，,最小值为 0. 16．【详解】（1）当 时， ，解得 . 当 时，有 ， ， 两式作差可得， ，整理可得， . 又 ，所以，数列 为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以， ，所以， . （2）由（1）可知， ， ，所以， ， . 设 的公差为 ，则 ，解得 ， ， 所以， .所以， ， 所以，数列 的前 项和 . 答案第 1 页，共 2 页 17．（1）在四棱锥 中，由 ， 得 ， ，则 ， 又 ，且 ，所以 . （2）由（1）知 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， 设 ，则 ， 设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ， 设平面 的法向量为 ，由 ，令 ，得 ， 由二面角 的余弦值为 ，得 ， 即 ，整理得 ，解得 ， 所以 ． 18．（1）当 时，函数 ，求导得 ， 设函数 的图象过点 的切线的切点为 ， 显然点 不在函数 的图象上，则 ，解得 ， 则切点为 ， ，故所求切线方程为 . （2）函数 的定义域为 R，求导得 ， 当 时， 恒成立，则 在 上单调递减； 答案第 1 页，共 2 页 当 时，由 ，得 ， 当 时， ，则函数 在 上单调递减； 当 时， ，则函数 在 上单调递增， 综上，当 时，函数 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）由（2）知，当 时， 的最小值 ， 要证 ，只需证 ，只需证 ， 设 ，求导得 ， 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增， 函数 在 处取最小值， ， 因此 ，故 得证. 19．（1）因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 正偶数与 不互素，所有正奇数与 互素，比 小的正奇数有 个，所以 ； （2）所有不超过正整数 的正整数有 个，其中与 不互素的正整数有 ， ， ， ， ， 共 个， 所以所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数为 个， 即 ， 两式相减得 答案第 1 页，共 2 页 （3）由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ； 当 时， ，当 时， ， 所以 的最大值为 ， 故 答案第 1 页，共 2 页马街中学高2023级高二 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
