2024-2025学年江苏省南京市中华中学高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的虚部是( ) A. B. C. D. 2.，，若，则实数为( ) A. B. C. D. 3.在中，点是边的中点记，，则( ) A. B. C. D. 4.设，则( ) A. B. C. D. 5.若，则( ) A. B. C. D. 6.在中，为锐角，若，，则( ) A. B. C. 或 D. 7.在中，，向量在上的投影向量为，且，则( ) A. B. C. D. 8.设的内角，，所对的边长分别为，，，且，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是虚数单位，下列说法正确的是( ) A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 10.下列四个等式中正确的是( ) A. B. C. D. 11.设的内角，，的对边分别为，下列结论正确的是( ) A. 若满足条件的三角形有个，则的取值范围为 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为锐角，，则的值为_____． 13.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，则的最小值为_____． 14.定义区间，，，的长度为，其中不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，求下列各式的值： ； ． 16.本小题分 如图，在中，已知为边上一点，，，． 求的面积； 若，求的长． 17.本小题分 已知向量满足，且向量与的夹角为． 求； 若其中，则当取最小值时，求与的夹角的大小． 18.本小题分 已知函数其中常数的最小正周期为． 求函数的表达式； 若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数，满足，且的最小值是，求的值． 19.本小题分 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点． 设，写出函数的相伴向量； 已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数，若且，求最值； 已知，，为中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.； ． 16.解：解：因为且，可得， 且， 所以， 所以 ； 解：由知：， 则． 16.解：在中，因为，，， 由余弦定理，可得， 又由，所以． 所以的面积为． 法一：在中，可得， 由正弦定理得，即， 所以，又， 所以，所以，因为， 且， 由正弦定理得， 可得． 法二：设， 在中，因为且， 由余弦定理，可得， 即， 化简得，解得， 则的长为． 17.解：因为，且向量与的夹角为， 所以， 所以． 因为其中， 所以， 所以时，， 此时， 所以， 所以与的夹角的大小为． 18.解：， 因为的最小正周期为，且， 所以，． 因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 根据对勾函数单调性可知，， 所以． 由题意可知， 因为，，， 所以，中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以或， 因此的值为或． 19.解：， 所以函数的相伴向量； 由题知， 由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得，， 即． 因为，所以，所以当，即时，取得最大值， 即的最大值为，无最小值． 由知，， 所以， 设，因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 即，所以． 因为，所以， 所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得． 第1页，共1页 ... ...
